¿Cómo solucionarlo?

Question

Estoy atascado con la pregunta $$\cos\Bigl(\sin^{-1}\Bigl(-\frac35\Bigr)\Bigr)$$ Busqué la respuesta en el libro y es $\frac45$

He intentado resolverlo usando la fórmula de $\sin^2x+\cos^2x=1$ y también conseguí $\frac45$ como la respuesta, pero tengo que ingresar el valor de $\cos x$ en la pregunta en lugar de$$ \sin^{-1}\Bigl(-\frac35\Bigr)$$ Pero no puedo ver ninguna lógica.

Por favor, que me lo explique.

Answer 1

Sugerencia: $$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2},$$ for all $ x \ in (- \ pi / 2, \ pi / 2) $ .

Answer 2

Usted puede hacer esto puramente con (trigonométrica) las fórmulas, pero he aquí una más enfoque geométrico.

Desde $\sin^{-1}(-a)=-\sin^{-1}(a)$ e $\cos(-a)=\cos(a)$, se tiene: $$\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac{3}{5}\right)\right)=\cos\left(\sin^{-1}\left(\tfrac{3}{5}\right)\right)$$ Ahora imagina (o dibujar!) un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5:

• $\sin^{-1}\left(\tfrac{3}{5}\right)$ corresponde al ángulo con el lado opuesto 3;
• el coseno de este ángulo es la relación entre el lado adyacente (4) y la hipotenusa (5).

Answer 3

En realidad, para una mejor comprensión, se puede traducir esto al inglés. Para esta particular expresión $$\cos\Bigl(\sin^{-1}\Bigl(-\frac35\Bigr)\Bigr)$$ lo que se pide es

¿Cuál es el coseno de un ángulo cuyo seno valor es $-\frac{3}{5}$?

Ahora, hay dos cosas a tener cuidado aquí. En primer lugar, tenemos que encontrar un ángulo cuyo seno valor es $-\frac{3}{5}$. Segundo, se nos pide encontrar el coseno del valor de este ángulo.

A partir de aquí, me refiero a StackTD la respuesta ya que me parece la solución geométricamente más beneficioso.

Answer 4

$\displaystyle \sin^{-1}\left(-\dfrac 35 \right)$ es el ángulo con su seno relación de igual a $-\dfrac35$. Tenga en cuenta que los ángulos en el primer y segundo cuadrantes positivos sine proporciones y ángulos en el tercer y cuarto cuadrantes negativos seno de las proporciones. Así, $\displaystyle \sin^{-1}\left(-\dfrac 35 \right)$ debe ser un ángulo en el tercer o el cuarto cuadrante. No queremos que $\sin^{-1}$ tener varios valores y por lo tanto limitar su rango de a $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}2\right]$, con $\sin^{-1}$ positiva de un número no mayor de $1$ tiene el valor en $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}2\right]$ y que de un número negativo no menos de $-1$ tiene el valor en $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ (También, tenemos $\sin^{-1}0=0$). Esta es la manera de definir la inversa de la función seno.

Así que si $\displaystyle \theta = \sin^{-1}\left(-\dfrac 35 \right)$, a continuación, $\theta$ es un ángulo en $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ tal que $\displaystyle \sin\theta=-\dfrac35$. $\theta$ es un ángulo en el cuarto cuadrante y, por tanto, $\cos\theta\ge0$.

Como $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, $\cos^2\theta=\displaystyle 1-\left(-\dfrac35\right)^2=\frac{16}{25}$. $\cos\theta\ge0$ implica que $\cos\theta=\dfrac45$.

Answer 5

Deje $\sin^{-1}\left(-\frac 35\right)=\alpha$ , de modo que $\sin \alpha =-\frac 35$

A continuación, $\sin^2\alpha +\cos ^2 \alpha =1$ e $\cos^2 \alpha = \frac {16}{25}$

Creo que este es esencialmente quieren que usted hizo o similar a ella, y todo lo que usted necesita es un poco de cuidado acerca de que la raíz cuadrada desea - que en realidad puede depender del contexto, pero cuando no hay ningún contexto se dijo que hay un convenio para que el principal valor que otros han explicado.

Sólo quería resaltar que dar un nombre como $\alpha$ a un complicado expresión a veces puede ayudar a ver lo que está pasando. A menudo es útil usar un nombre de otros que comúnmente se utilizan los nombres de variables como $x$ o $n$, debido a que sus evita el uso del mismo símbolo para significar cosas diferentes.