Si se entiende la integral de Lebesgue es que se toma con respecto a la medida de Lebesgue, entonces, si la integral de Riemann se define por una función (que es exactamente cuando el conjunto de puntos en los que la función es discontinua tiene medida de Lebesgue $0$), de acuerdo con la integral de Lebesgue wrt medida de Lebesgue. Así que a menos que una determinada medida se mencionó, se debe utilizar la integral que por favor, cuando la definición de la integral existe (teóricamente podría venir para arriba con una función donde el Lebesgue es más fácil de calcular, aunque no podría nombrar a uno por la parte superior de mi cabeza), si bien toma nota de que una "buena" función normalmente se tiene una integral de Riemann; y el uso de Lebesgue wrt medida de Lebesgue cuando existe. Tenga en cuenta que cuando un autor quiere que usted piense Lebesgue, ella probablemente puede hacer explícitas de integración que se está produciendo a través de un conjunto, por ejemplo, $\int_{[a, b]}$ en lugar de $\int_{a}^{b}$.
Cuando un autor quiere que Lebesgue-integrar con respecto a una medida que no es la medida de Lebesgue (a menudo denotado λ), que por lo general se nota la medida que desee en el diferencial. La notación más común es $\int_{E} f \mathrm{d} \mu$ donde $\mu$ es nuestra medida, pero también se puede ver $\int_{E} f(x) \mathrm{d} \mu$ o $\int_{E} f(x) \mathrm{d} \mu (x)$, dependiendo del autor. En estos casos, sin embargo, debe ser evidente en qué medida estás (Lebesgue-)integración de la wrt.