¿Cómo decidir si Lebesgue integral o integral de Riemann?

Question

Muy a menudo me siento muy incómodo en el trato con las integrales, ya que me pregunto si la integral dada se entiende como un (impropias de Riemann integral o Lebegue integral?

Por ejemplo, la función Gamma es a menudo definida por la integral de Euler

$$\Gamma(z)=\int\limits_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt $$

pero no se indica si se debe considerar la integral como una integral de Lebesgue o la integral de Riemann. Se siente más cómodo tratar con Lebesgue de integración, ya que se puede usar el teorema de lebesgue etc. Existe una regla de pulgar cómo decidir si es Riemann o Lebesgue la integral?

Los mejores deseos

Answer 1

Lo que existe. Cuando ambos Riemann y Lebesgue integrales existen, dan el mismo valor por lo que no importa.

Lo que estamos pidiendo es similar a la de "cuando alguien escriba $-5$ debo interpretar esto como el número real $-5$ o el complejo de número de $-5+0i$?". Es realmente la misma cosa, a menos que tenga una razón específica para el uso de un número sobre el otro. Por ejemplo, si usted quiere decir $0>-5$, entonces usted está discutiendo los números reales. Si quieres decir $\sqrt{-5}$ a continuación se habla sobre los números complejos. Riemann/Lebesgue de integración es de la misma manera. Desea utilizar el teorema fundamental del cálculo? A continuación, utilice Riemann de integración. Desea utilizar Lebesgue de la convergencia dominada? A continuación, utilice Lebesgue.

Answer 2

Si se entiende la integral de Lebesgue es que se toma con respecto a la medida de Lebesgue, entonces, si la integral de Riemann se define por una función (que es exactamente cuando el conjunto de puntos en los que la función es discontinua tiene medida de Lebesgue $0$), de acuerdo con la integral de Lebesgue wrt medida de Lebesgue. Así que a menos que una determinada medida se mencionó, se debe utilizar la integral que por favor, cuando la definición de la integral existe (teóricamente podría venir para arriba con una función donde el Lebesgue es más fácil de calcular, aunque no podría nombrar a uno por la parte superior de mi cabeza), si bien toma nota de que una "buena" función normalmente se tiene una integral de Riemann; y el uso de Lebesgue wrt medida de Lebesgue cuando existe. Tenga en cuenta que cuando un autor quiere que usted piense Lebesgue, ella probablemente puede hacer explícitas de integración que se está produciendo a través de un conjunto, por ejemplo, $\int_{[a, b]}$ en lugar de $\int_{a}^{b}$.

Cuando un autor quiere que Lebesgue-integrar con respecto a una medida que no es la medida de Lebesgue (a menudo denotado λ), que por lo general se nota la medida que desee en el diferencial. La notación más común es $\int_{E} f \mathrm{d} \mu$ donde $\mu$ es nuestra medida, pero también se puede ver $\int_{E} f(x) \mathrm{d} \mu$ o $\int_{E} f(x) \mathrm{d} \mu (x)$, dependiendo del autor. En estos casos, sin embargo, debe ser evidente en qué medida estás (Lebesgue-)integración de la wrt.

Answer 3

Un hecho interesante que me he encontrado en la formalización de las matemáticas: Como se ha mencionado, la de Riemann y Lebesgue integrales coinciden cuando ambos están definidos, y la integral de Lebesgue tiene un número de niza propiedades que no son compartidos por la integral de Riemann (véase este interesante artículo sobre la diferencia: "debemos volar en el Lebesgue-diseñado avión?"). Sin embargo, la mayoría de las propiedades básicas de la medida de Lebesgue y de integración se basan en el axioma de contables elección (para demostrar que el contable de la unión de conjuntos medibles es medible), mientras que la integral de Riemann se basa sólo en orden básico de las propiedades de los números reales, por lo que para revertir las matemáticas es preferible evitar integración de Lebesgue cuando sea posible.

En muchos casos, la integral de Riemann se aplica, o alternativamente, se puede utilizar derivados lugar (es decir, sólo postulan la antiderivada si puede ser en una forma cerrada, y mostrar que tiene el derecho derivado). Esto no funciona para la función Gamma, aunque, u otras funciones especiales para los cuales la integral de sí mismo es la definición. Pero la función Gamma es continua (incluso analíticas), por lo que también puede utilizar las integrales de Riemann o termwise de alimentación de la serie integración para demostrar que una función con el derecho derivado existe.