Cálculo del problema de variaciones con restricción de convolución

Question

Considere el siguiente problema:

\begin{eqnarray} &\inf_{f} {\int\limits_0^1 g(x)f(x) dx}\\ &\textrm{s.t.} \quad \int\limits_0^{2} g(x)(f\ast f(x)) dx=c\\ & \quad f:[0,1] \rightarrow [0,1] \end{eqnarray} donde $f\ast f(x)$ es la convolución de $f$ con sí mismo, $c>0$ es lo suficientemente bajo como para que el conjunto factible es no vacío.

I plan para empezar a trabajar con la primera variación, pero quería pausa y marque aquí si hay un método estándar de tratar con este tipo de problema (tal vez de convolución sugiere un movimiento hacia el dominio de la frecuencia?). Gracias.

Nota: Original del problema de la $g(x)=xe^{-x}$, pero la solución es más general.

Answer 1

La primera variación de las necesidades de dos perturbación $\eta_1$ e $\eta_2$ y son dependientes unos de otros. En efecto, esto le da el multiplicador de Lagrange.

Definir $g(x):=xe^{-x}$. De hecho, está claro que esta función es un arenque rojo de tanto tiempo, ya que no es cero. Hemos $$\label{conVar}\int g(x)(f*\eta)(x)\,dx=0 \tag1$$ o estacionarios de la función de $f$satisface $$\label{var}\int g(x)(\eta(x)+\lambda f*\eta(x))\,dx=0,\tag2$$ para todos los admisible $\eta$, donde $\lambda$ es una constante, es decir, el multiplicador de Lagrange. Denota la transformada de Fourier de $f$ por $\mathcal F[f]$ y el complejo de la conjugación de $g$ por $\bar g$. Por el teorema de Plancherel, tenemos para la Ecuación \eqref{conVar} \begin{align} 0&=\int g(x)(f*\eta)(x))\,dx \\ &=\int \overline{\mathcal F[g]}(k)\,\mathcal F[f*\eta](k)\,dk \\ &=\int \overline{\mathcal F[g]}(k)\,\mathcal F[f](k)\mathcal F[\eta](k)\,dk \end{align} para todos los admisible $\eta$. Así $$\mathcal F[f]=0 \Longleftrightarrow f=0.$$ Dependiendo de si $c=0$ o no $f=0$ es un estacionarios de la función o no.

Por la misma razón, la Ecuación \eqref{var} da \begin{align} 0&=\int g(\eta(x)+\lambda f*\eta(x))\,dx \\ &=\int g\big((\delta+\lambda f)*\eta(x)\big)\,dx \\ &=\int \overline{\mathcal F[g]}(k)\,\mathcal F[(\delta+\lambda f)*\eta(x)](k)\,dk \\ &= \int \overline{\mathcal F[g]}(k)\,\mathcal F[(\delta+\lambda f)](k) \,\mathcal F[\eta(x)](k)\,dk \\ &= \int \overline{\mathcal F[g]}(k)\,(1+\lambda\mathcal F[f])(k) \,\mathcal F[\eta](k)\,dk \end{align} para cada admisible $\eta$. Desde $\eta$ es arbitrario, $$1+\lambda\mathcal F[f]=0 \Longleftrightarrow f(x)=-\frac1\lambda\delta(x).$$ $\therefore f:[0,1] \not\rightarrow [0,1].$