Normalizador de la acción grupal.

Question

Tome un grupo de $G$ actuar fielmente en un conjunto $X$, y deje $H \leq G$. Se puede demostrar fácilmente que los elementos de la $N_{G}(H)$ estabilizar la colección de órbitas de $H$ (como un conjunto, es decir, las órbitas se asignan a las órbitas).

Es a la inversa verdad? Es decir, si tomamos $\mathcal{O}$ a ser la colección de órbitas de $H$, ¿ siempre tenemos que $\mathrm{Stab}_{G}(\mathcal{O}) = N_{G}(H)$? (Soy feliz si todo lo que se supone que para ser finito, pero más general, las respuestas también son bienvenidos.)

Edit: Ya que, como se mencionó en la respuesta de runway44, esto puede ser considerado por mirar lo que sucede con cada una de las $G$de las órbitas en $X$, me gustaría saber si esto es cierto para $G$ actúa transitivamente y fielmente en $X$.

Answer 1

Supongamos $g\in G$ estabiliza la espacial en órbita $H\,\backslash X$ (es decir, la colección de órbitas de $H\curvearrowright X$).

Desde $g$ puede mezclar la $G$de las órbitas, se debe estabilizar cada espacial en órbita $H\,\backslash \mathcal{O}_1$, $\cdots$, $H\,\backslash \mathcal{O}_k$ (donde $\mathcal{O}_i$ son las órbitas de la acción completa $G\curvearrowright X$). Cualquier $G$-órbita es isomorfo (como $G$-set) a $G/K$, donde $K$ es el estabilizador de algún punto de la órbita, por lo que debemos examinar la situación de los $G/K$.

Tenga en cuenta que el $H$-espacial en órbita $H\,\backslash(G/K)$ es el conjunto $H\,\backslash G/K$ de doble cosets. También a la izquierda y a la derecha las acciones pueden ser convertidos con la recíproca, y, en particular, hay una acción $H\times K\curvearrowright G$ dado por $(h,k)g:=hgk^{-1}$ y las órbitas son precisamente el doble cosets; $(H\times K)\,\backslash G=H\,\backslash G/K$. En particular, el doble cosets de la partición el grupo $G$, así como las órbitas de los partición de cualquier $G$-set.

Para $g$ a estabilizar $H\,\backslash G/K$, debemos tener para todos los $a\in G$ existe un $b\in G$ tal que $gHaK=HbK$. Como cada elemento de una órbita es un representante, y $ga\in gHaK$, tenemos $gHaK=HgaK$. Esto es equivalente a decir $H({}^cK)=(H^g)({}^cK)$ para todos los $c\in G$, donde $H^g=g^{-1}Hg$ e ${}^cK=cKc^{-1}$ e $c=ga$. Por lo tanto,

$$ \mathrm{Stab}_G(H\,\backslash G/K)=\{g\mid H({}^cK)=(H^g)({}^cK)~\forall c\in G\}. $$

No estoy seguro de si esto simplifica todo lo mejor. A continuación, $\mathrm{Stab}_G(H\,\backslash X)$ será la intersección de la persona estabilizadores $\mathrm{Stab}_G(H\,\backslash \mathcal{O}_i)$. Dos situaciones extremas:

• $\mathrm{Stab}_G(H\,\backslash G/G)=G$
• $\mathrm{Stab}_G(H\,\backslash G/1)=N_G(H)$.

En general, $\mathrm{Stab}_G(H\,\backslash X)$ será de entre $N_G(H)$ e $G$.

Answer 2

Quería ampliar el análisis de runway44 la respuesta para el caso en que $G$ actúa transitivamente sobre $X$, y dar un ejemplo que muestra que incluso en este caso, la respuesta es negativa.

Si asumimos que $G$ actúa con fidelidad y transitivamente en $X$, entonces podemos poner $K = \mathrm{Stab}_{G}(x)$ para algunos arbitraria $x \in X$; entonces existe un natural de la correspondencia entre $X$ e $G/K$, los cosets de $K$ (en contraste con runway44 la respuesta, voy a estar trabajando con derecho cosets, y un grupo de la derecha en la acción). De modo que cada elemento de $X$ corresponde a un coset $Kg$ para algunos $g \in G$, y un $H$-órbita en el $X$ corresponde a la doble coset $KgH$.

Ahora, si algunos de $n \in G$ estabiliza la $H$de las órbitas en $X$, entonces para cada $g \in G$ hemos $KgHn = Kg^{\prime}H$ para algunos $g^{\prime} \in G$. Desde $gn \in KgHn$, tenemos $KgHn = KgnH$. Por otro lado, podemos escribir $KgHn = Kgn(n^{-1}Hn)$ dándonos $KgnH = Kgn(n^{-1}Hn)$; desde $gn$ cubre todos los elementos de $G$ como $g$ no, esto significa $$KgH = Kg(n^{-1}Hn)$$ para todos los $g \in G$, o lo que es equivalente, $$x^{H} = x^{n^{-1}Hn}$$ for all $x \in X$. In other words, the most we can conclude is that $H$ and $n^{-1}Hn$ have the same orbits on $X$.

A partir de esto, podemos ver que incluso cuando $G$ actúa con fidelidad y transitivamente en $X$, es posible que $N_{G}(H) < \mathrm{Stab}_{G}(O(H))$. Por ejemplo, supongamos $G = S_{6}$ actuando en forma natural en $\{1,2,3,4,5,6\}$, y tome $H = \langle (1,2,3)(4,5,6),\ (1,2) \rangle$. Si $n = (1,4)(2,5)(3,6)$, a continuación, $n$ estabiliza las órbitas de $H$. Pero $$n^{-1}Hn = \langle (1,2,3)(4,5,6),\ (4,5)\rangle \ne H.$$