$\text{Tor}$ y $IJ=I\cap J$ : Eisenbud exercice A3.17

Question

$I$ y $J$ son ideales de un anillo $R$ . A partir de la secuencia exacta corta $$ 0\to I\to R\to R/I\to 0 $$ tenemos $$ 0\to \text{Tor}_1^R(R/I,R/J)\to I/(IJ)\to R/J\to R/(I+J) \to 0 $$ Así que $$ \text{Tor}_1^R(R/I,R/J)=(I\cap J)/IJ $$ En el ejercicio A3.17 Eisenbud pide que se deduzca de él que si $I+J=R$ entonces $I\cap J=IJ$ .

Veo que tenemos $$ 0\to \text{Tor}_1^R(R/I,R/J)\to I/(IJ)\to R/J\to 0 $$ Pero no veo cómo puede ayudarme.

Veo que (es lo mismo) que $R/I\otimes R/J=R/(I+J)=0$ así que $\text{Tor}_0(R/I,R/J)=0$ . ¿Implica que $\text{Tor}_1(R/I,R/J)=0$ ?

Hay una segunda cuestión: demostrar (con el mismo truco $\text{Tor}_1^R(R/I,R/J)=(I\cap J)/IJ$ ) que si $I$ está generada por una secuencia de elementos que forman una secuencia regular mod $J$ (es decir, supongo que hay en $I$ a regular $R/J$ -secuencia) entonces $IJ=I\cap J$ . Mi problema aquí es que no veo ningún vínculo entre la secuencia regular y $\text{Tor}$ .

Answer 1

¡Creo que lo tengo (por primera vez)!

Por la primera: $\text{Tor}_i(M,N)$ es aniquilado por $\text{Ann}(M)$ y $\text{Ann}(N)$ porque el elemento de $\text{Tor}$ no son otra cosa que clases de elementos de $P_i\otimes N$ o $P_i\otimes M$ . Aquí $\text{Tor}_1(R/I,R/J)$ es aniquilado por $I$ y $J$ por lo que si $R=I+J$ se aniquila por 1 y se llega a la conclusión.

Answer 2

Si $R$ es conmutativa, el enunciado es completamente elemental --- no homológico en absoluto.

Supongamos que $I+J=R$ de modo que $a+b=1$ para algunos $a\in I$ , $b\in J$ queremos mostrar $I\cap J\subseteq IJ$ . Sea $x\in I\cap J$ . Entonces $ax\in IJ$ y $xb\in IJ$ . Así que $x=x(a+b)=ax+xb\in IJ$ .