$T \in \mathcal L (V)$ no tiene valores propios reales. Demuestre que cada subespacio de$V$ invariante bajo$T$ tiene dimensión par.

Question

Supongamos $V$ es un espacio vectorial real y $T \in \mathcal L (V)$ no tiene autovalores.

Probar que cada subespacio de $V$ invariantes bajo $T$ incluso ha dimensión.

Solución :

Supongamos $U$ es un subespacio de $V$ que es invariante bajo $T$. Si $\dim U$ fueron impar, entonces $T|_{U}$ tendría un autovalor $\lambda \in \Bbb R$. $\exists v \neq 0, v\in U$ tal que $T|_{U} u = \lambda u$.A continuación, $\lambda$ es un autovalor de $T$.Pero $T$ no tiene autovalores, por lo $\dim U $ debe ser par.

Por qué sucedió eso cuando $T|_{U}$ ha extraña dimensión?

Answer 1

Para entender por qué esto solo es cierto para una dimensión impar, debe investigar el polinomio característico del mapa lineal restringido $$T\rvert_U : U \rightarrow U .$ $

Hay algo especial que está sucediendo con su grado. Luego piense en cuál es la relación entre los valores propios y el polinomio característico.