Gracias por la lectura.
LA PREGUNTA:
Convencerme de que cuando en la superficie de una suave colina, el $(x,y)$ dirección que debo tomar un pequeño paso para que mi altura no cambia, es siempre perpendicular a la $(x,y)$ dirección que debo tomar un pequeño paso para que mis cambios de altura por la mayoría.
Más Matemáticamente formulado:
Me convence, intuitivamente, que la dirección de la subida más empinada es la perpendicular al nivel de una función.
Me convence, intuitivamente, que si yo estoy de pie sobre una suave colina, la dirección de subida más empinada es perpendicular a la dirección que debo mover para que la altura no cambia en absoluto.
Por qué estoy preguntando es:
(Esta sección va a ser muy largo, pero sólo porque quiero ser útil potencial de responder y explicar exactamente lo que yo entiendo y lo que no entiendo en tanta profundidad como sea posible. Si usted lee todo, muchas gracias!)
Siempre he tenido problemas para entender que el gradiente es la dirección de la subida más empinada.
He visto algunas de las excelentes respuestas en este sitio como este...
¿Por qué es el gradiente de la dirección de subida más empinada?
...y este...
Gradiente de una función como la dirección de más escarpado ascenso/descenso
...y, honestamente, la mayoría de las respuestas parecen responder de la misma manera: la demostración de que el producto escalar de un vector de longitud fija con el gradiente, que, por definición, es el cambio en la función en ese punto, es máxima cuando el vector de longitud fija (el paso) puntos en la dirección del gradiente.
La respuesta es bien...pero siempre he tenido un poco de dificultad para su comprensión.
Eso es porque a pesar de que la frase "...dar el paso que apunta en la dirección del gradiente de maximizar el producto escalar entre el paso de la dirección y el gradiente de..." es, matemáticamente, el sonido, la idea de "la dirección" de la gradiente no es algo que me"m realmente cómodo, ya que veo que el gradiente de un operador en un vector $\begin{bmatrix} dx\\ dy \end{bmatrix}$ that outputs by how much some $f(x,y)$ would change at some specific $(x,y)$ si tomamos que "el paso". Es difícil para mí pensar en el gradiente como un vector de la misma.
Así que sí, yo nunca he realmente entiende el "sentido ascensional" de una función.
Sin embargo, algo que yo no entiendo es el nivel de los conjuntos de una función. Estos son todos los $(x,y)$ en puntos que algunos $f(x,y)$ se mantiene constante.
Por ejemplo, si $f(x,y)=x+2y$, a continuación, $(x+2y)=1$ sería un nivel de conjunto.
En la imagen de arriba, el plano rojo es $z=f(x,y)$, y el plano verde es $(x+2y)=1$. Como se puede ver, la intersección de los dos planos es plana, lo que indica que $f(x,y)$ es constante para todos los $(x,y)$ tal que $(x+2y)=1$.
Ahora bien, decir que estaba de pie en esa intersección, donde $z=1$, y quería saber que $(x,y)$ dirección a tomar un paso para que no me mueva arriba o abajo de la montaña?
Iba a tener que mover en un $(x,y)$ dirección tal que $(x+2y)$ se mantuvo constante.
Decir que me tome un pequeño paso en alguna dirección arbitraria. Que paso tendrá un $x$ componente y un $y$ componente.
Podemos representar ese pequeño paso como un vector: $\begin{bmatrix} dx\\ dy \end{bmatrix}$.
Para cualquier pequeña cantidad $dx$ que paso corresponde en la $x$ dirección $f(x,y)$ (a mi altura) va a cambiar por $dx$, ya que en ese $(x,y,f(x,y))$ punto estoy de pie en ese suave montaña, $\frac{\partial f}{\partial x}=1$.
Por otro lado, para cualquier pequeña cantidad $dy$ que paso corresponde en la $y$ dirección $f(x,y)$ (a mi altura) va a cambiar por $2dy$, ya que en ese $(x,y,f(x,y))$ punto estoy de pie en ese suave montaña, $\frac{\partial f}{\partial y}=2$.
En general, en cualquier $(x,y,f(x,y))$, la cantidad por la que $f(x,y)$ cambios cuando me tome un pequeño paso $\begin{bmatrix} dx\\ dy \end{bmatrix}$ is the amount by which it changes due to the component of our step in the $x$ direction, which would be $\frac{\partial f}{\partial x} * dx$, plus the amount that it changes in due to the component of our step in the $s$ direction, which would be $\frac{\partial f}{\partial x} * dy$.
En este ejemplo concreto, la función cambia dos veces como mucho para cualquier paso en la $y$ la dirección en la que se hace por cualquier paso en la $x$ dirección. Eso significa que si yo no quiero $f(x,y)$ a cambio de nada, y para cualquiera que sea la cantidad que se mueven en el $y$ dirección, debo mover negativo el doble de esa cantidad en el $x$ dirección, ya que cualquier cantidad fija de movimiento en la $y$ dirección corresponde a dos veces el cambio en la altura, como lo hace cualquier movimiento en el $x$ dirección!
En otras palabras, la dirección de mi paso debe ser: $\begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix}$.
Digamos que yo en cambio, estaba de pie en un $(x,y,f(x,y))$ punto donde un pequeño paso en la $x$ dirección correspondía a 42 veces el cambio en la altitud que un pequeño paso en la $y$ dirección hizo.
En otras palabras, $\frac{\partial f}{\partial x}=42\frac{\partial f}{\partial y}$ en ese punto.
Entonces, para no cambiar la altura a la que todos (permanecer en el nivel de conjunto), me gustaría tomar un pequeño paso en la $\begin{bmatrix} 1\\ -42 \end{bmatrix}$. I'd want to make sure that my step moves me $-42$ times as much in the $y$ direction as we do in the $x$.
Más generalmente, si yo estoy de pie en algún punto de $(x,y,f(x,y))$ sobre una suave montaña, el paso que debo tomar tal que mi altura no cambia (de tal manera que $f(x,y)$ no cambia) debe siempre ser $\begin{bmatrix} +\frac{\partial f}{\partial y}\\ -\frac{\partial f}{\partial x} \end{bmatrix}$
Esto tiene sentido para mí - no hay productos de puntos necesarios hasta el momento!!!!
Ahora, yo sé que la dirección ortogonal a $\begin{bmatrix} +\frac{\partial f}{\partial y}\\ -\frac{\partial f}{\partial x} \end{bmatrix}$ corresponde a tomar el negativo recíproco de la misma.
Que es:
$\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix}$
Y ESA ES LA DIRECCIÓN DE SUBIDA MÁS EMPINADA!
En resumen, entiendo por qué el "sentido de no ascenso" es lo que es.
Si de alguna manera podría comprender intuitivamente que el "sentido ascensional" al escalar una montaña es siempre perpendicular a la dirección del no ascenso, a continuación, me gustaría entender por qué el gradiente en la dirección de subida más empinada.
Gracias!
Una cosa más...
Me etiqueten esta pregunta como un suave pregunta simplemente porque estoy buscando intuitiva respuestas más que pruebas matemáticas, y es difícil decir si o no intuitiva de las respuestas son correctas.
Copiado y pegado de un comentario más abajo...
Me gustaría ser capaz de imaginar a mí mismo de pie en la superficie de una suave colina, de pie sobre un lugar donde alguien tuvo una brillante neón marcador y trazó un nivel de la curva de la colina, y la imagen de la colina de tal manera que la dirección en la que la colina es más pronunciada es, OBVIAMENTE, perpendicular a la colina. Y a partir de ahora, simplemente no puedo! Parece tan plausible que alguna OTRA dirección no perpendicular a la de color amarillo brillante a nivel de la curva podría ser la más pronunciada de dirección en su lugar!
