¿Cómo llegan Wolfram Alpha y la fórmula de reducción a un resultado diferente para la integral de$\int \sec^4 x\,dx$ que la sustitución ingenua$u$?

Question

Yo calcula de la siguiente en un papel para que el valor de $\int \sec^4 x\,dx$.

$$\int \sec^4 x\,dx=\int \sec^2 x \sec^2 x\,dx=\int (\tan^2 x + 1)(\sec^2 x)\,dx.$$ Deje $u = \tan x$, $du = \sec^2 x\,dx$así $$\begin{align}\int \sec^4 x\,dx&=\int u^2 + 1\,du\\&=\frac{1}{3} u^3 + u + C\\&=\frac{1}{3} \tan^3 x + \tan x + C\\&=\frac{1}{3} (\tan x)(\tan^2 x + 1) + C\\&=\frac{1}{3} \tan x \sec^2 x + C\end{align}$$

Wolfram Alpha, sin embargo, da $\int \sec^4(x)\,dx = \frac13(\cos(2 x) + 2) \tan(x) \sec^2(x) + C$. Este es en particular no es igual a mi de la solución.

De acuerdo con el "paso a paso de la solución" desde el Wolfram Alpha de la aplicación, la fórmula de reducción se utiliza para producir $$\frac{1}{3}\tan x \sec^2 x + \frac{2}{3} \int \sec^2 x \,dx$$ then $$\frac{2}{3} \tan x + \frac{1}{3} \tan x \sec^2 x + C$$

¿Por qué la fórmula de reducción de producir este añadido plazo en comparación con los ingenuos $u$-sustitución?

Answer 1

Esto se debe a que cometió un ligero error en $$\frac13\tan^3x+\tan x+C=\frac13\tan x(\tan^2x+3)+C\ne\frac13\tan x(\tan^2x+1)+C. Luego obtiene \begin{align}\frac13\tan x(\tan^2x+3)+C&=\frac13\tan x(\tan^2 x+1)+\frac23\tan x+C\\&=\frac13\tan x\sec^2x+\frac23\tan x\cos^2x\sec^2x+C\\&=\frac13\tan x\sec^2x+\frac23\tan x\cdot\frac{1+\cos2x}2\sec^2x+C\\&=\frac13\tan x\sec^2x(2+\cos2x)\end {align} como se indica en W | A.

Answer 2

Has cometido un error aritmético. Debe ser $$\ frac13 \ tan ^ 3 x + \ tan x = \ frac13 \ tan (x) (\ tan ^ 2x +3)$$ no $\frac13\tan(x)(\tan^2x+1)$ .