Cómo proceder con esta pregunta de la Secuencia

Question

Dejemos que $a,b$ sean dados enteros positivos tales que $a<b$ . Sea $M(a,b)$ sea definido como $$ \frac{\sum_{k=a}^b \sqrt{k^2+3k+3}}{b-a+1}. $$

Evaluar $[M(a,b)]$ donde $[.]$ representa la mayor función entera.

He intentado factorizar el término dentro de la raíz cuadrada pero creo que ha sido bastante inútil. Tengo la sensación de que podría (?) telescopar pero no tengo ni idea de qué hacer aquí. Cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Debe utilizar las estimaciones $(x+1)^2<x^2+3x+3<(x+2)^2$ . Entonces se consigue que $$\frac{\sum_{k=a}^b(k+1)}{b-a+1}<M(a,b)<\frac{\sum_{k=a}^b(k+2)}{b-a+1}$$ Utilizando el hecho de que $\sum_{k=0}^nk=n(n+1)/2$ y las traducciones correspondientes (escribir $k=k-a+a$ por lo que se vuelven a indexar las sumas a partir de $0$ ) obtenemos las estimaciones $$1+\frac{b-a}{2}+a<M(a,b)< 2+\frac{b-a}{2}+a$$ Esto concluye:

Si $b-a$ es par, entonces $[M(a,b)]=1+(b-a)/2+a$ .

Si $b-a$ es impar, entonces $[M(a,b)]=1/2+(b-a)/2+a$ .