Intuición geométrica en$\langle x, A^\top y\rangle = \langle y, Ax\rangle$

Question

Estoy buscando una intuición geométrica en $\langle x, A^\top y\rangle = \langle y, Ax\rangle$. Esto puede ser demostrado de manera algebraica por el desmontaje de la expresión básica de sumas y productos y la reordenación de algunos términos. Pero que no ofrece ninguna pista.

Semánticamente esta igualdad de los estados que la escala de la proyección (producto escalar) de $x$ con una combinación lineal de las filas de $A$ ponderado por $y$ es igual a la escala de la proyección de $y$ en la combinación lineal de las columnas de $A$ ponderado por $x$. Pero no entiendo esto en una interfaz intuitiva forma geométrica. ¿Sabes de algún perspicaz interpretación?

Si esta igualdad tiene un nombre, que también sería útil. Ahora realmente no puedo investigación sin un nombre.

Me llegó a través de la ecuación: los vectores propios de la real simétrica matrices son ortogonales

Answer 1

El uso de la descomposición de valor singular $A=P\Sigma Q$ donde $P$ e $Q$ son ortogonales, y $\Sigma$ es diagonal. Respecto $A$ como actuar en el $V$ e $A^T$ como actuar en el isométrico del espacio dual $V^*$. El SVDs de $A$ e $A^T$ dejar claro que la "geometría" de la acción de uno es la misma como la acción de su transpuesta de pareja en el doble. La igualdad de $\langle x,A^Ty\rangle=\langle y,Ax\rangle$ simplemente se desvela a través de el interior del producto, que por supuesto ofrece la isometría entre los dos el espacio.

Answer 2

El OP está interesado en la intuición geométrica detrás de

$$\tag 0 \langle x, A^\top y\rangle = \langle y, Ax\rangle$$

y le preguntó el nombre de esta propiedad.

Para apreciar la belleza de $\text{(1)}$ tiene que pasar en el reino de resumen de álgebra lineal. Para hacer eso, uno puede comenzar pensando en el siguiente fragmento tomado de este resumen histórico,

La primera moderna y más precisa definición de un espacio vectorial fue introducido por Peano en 1888; en 1900, una teoría de las transformaciones lineales de finito-dimensional espacios vectoriales había surgido. Álgebra lineal tomó su forma moderna, en la primera mitad del siglo xx, cuando muchas de las ideas y métodos de los siglos anteriores fueron generalizadas como álgebra abstracta.

(el énfasis es mío)

He tratado de encontrar el nombre de la propiedad descrita en el $\text{(0)}$ y han llegado a la conclusión de que cuando lo vea, usted debe simplemente a "caer su mandíbula' en el asombro. Si desea utilizarlo, sólo tiene que preceder a la utilización por escrito

$$\quad \text{Since ...}$$

OK, tengo que salir de la OP con algo mejor que el anterior. Si usted desea dar a $\text{(0)}$ un nombre, llamado el Teorema de la AIP y se refieren a este enlace.

A continuación copio y teorema de la prueba. Como un ejercicio, el OP puede repetir todas las definiciones/teoremas/pruebas mediante la sustitución de los números complejos con los números reales, donde por $x \in \Bbb R$, $\,\bar x = x$. Mientras trabajaba en esto, el OP puede intentar adjuntar geométricas intuiciones a las ideas y conceptos que son analizados.

Teorema de la AIP: Adjunto y el Interior del Producto. Supongamos que $A$ es $m \times n$ matriz y $\vec x \in {\Bbb C}^n$, $\vec y \in {\Bbb C}^m$. Entonces

$$\tag 1 \langle A \vec x, \vec y\rangle = \langle \vec x, A^{*} \vec y\rangle$$

Prueba

---

Examiné la prueba del Teorema de la AIP y encontré preguntándome por qué, intuitivamente,

$$\tag 2 (AB)^t = B^t A^t$$

y encontré este enlace de la pila

Por qué, de manera intuitiva, es el orden se invierte cuando tomando la transpuesta del producto?

Que me llevan a escribir la siguiente respuesta, donde el resultado se prueba y debido a nuestra intuición, no es ninguna sorpresa.