Norma de la suma de operadores autoadjuntos

Question

Dejemos que $L$ y $K$ sean tales operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert, tales que tenemos $LK=0$ . Demuestre que para la norma del operador, tenemos la igualdad

$$\left\|L+K\right\|=\max\left\{\left\|L\right\|, \left\|K\right\|\right\}.$$

Pude demostrar que $\left\|L\right\|\leq \left\|L+K\right\|$ y $\left\|K\right\| \leq \left\|L+K\right\|,$ pero no puedo probar la otra desigualdad.

Answer 1

Sugerencia : demuestran que $$H=(\ker K)^\perp\oplus(\ker L)^\perp\oplus(\ker K\cap \ker L)$$ y con respecto a esta descomposición, $$K=\begin{pmatrix}K\vert_{\overline{\operatorname{im}K}}\\&0\\&&0\end{pmatrix}, L=\begin{pmatrix}0\\&L\vert_{\overline{\operatorname{im}L}}\\&&0\end{pmatrix}.$$