¿Cómo se vería la matriz más general$2 \times 2$ normal?

Question

¿Cómo sería la más general $2 \times 2$ normal de la matriz parece?

La normal de la matriz de satisfacer la ecuación: $A^*A=AA^*$ donde $A^*$indica conjugada transpuesta.

Yo estaba pensando en la matriz:

$$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} $$ porque sus columnas son ortogonales entre sí y se satisface la ecuación dada:

$$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & b^2 + a^2 \\ \end{pmatrix} $$ $$ $$

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & 0 \\ 0 & b^2 + a^2 \\ \end{pmatrix} $$ $$ $$

Es verdad real de las matrices, y supongo que para el complejo también. Pero es este el caso más general, o hay algo más?

Answer 1

También se puede caracterizar normal de la matriz $A$ por el hecho de que existe una matriz unitaria tal que $U^{-1}AU=D$ donde $D$ es diagonal.

Unitario $2x2$ matrices están bien caracterizados, véase, por ejemplo, la página de la wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix

$\exists (\alpha,\beta,\xi,\zeta)\in\mathbb R^4$ tal que $U=\begin{bmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha\\\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{i\xi} & 0\\0 & e^{i\zeta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos \beta & -\sin \beta\\\sin \beta & \cos \beta\end{bmatrix}$

$U=R(\alpha).\operatorname{diag}(e^{i\xi},e^{i\zeta}).R(\beta)$

$U^{-1}=R(-\beta).\operatorname{diag}(e^{-i\xi},e^{-i\zeta}).R(-\beta)$

Ahora usted puede tomar $D=\begin{bmatrix}z_1 & 0\\0 & z_2\end{bmatrix}$

Multiplicando todos estos probablemente no será muy bonito, pero llegar a parametrizar normal de cualquier matriz con $4$ reales y $2$ complejos.

Sin embargo, de alguna manera, esto no es muy satisfactorio para mí, la dimensión en la $\mathbb R$ todavía parecen ser $8$ , mientras que C. Haattingh mostró que necesitamos $|b|^2=|c|^2$ que puede ser reescrito $b=re^{it_b}$ e $c=re^{it_c}$ y se redujo la dimensión de $1$ ya. Así que sospecho que mi $D$ e $(\xi,\zeta)$ en realidad no son independientes... Es posible arreglar eso ?

Answer 2

Vamos $$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.$$ For $Un$ to be normal we require that $$\begin{bmatrix} \overline{a} & \overline{c} \\ \overline{b} & \overline{d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{a} & \overline{c} \\ \overline{b} & \overline{d} \end{bmatrix},$$ or equivalently $$\begin{bmatrix} |a|^2 + |c|^2 & \overline{a}b + \overline{c}d \\ \overline{b}a + \overline{d}c & |b|^2 + |d|^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |a|^2 + |b|^2 & a\overline{c} + b\overline{d} \\ c\overline{a} + d\overline{b} & |c|^2 + |d|^2 \end{bmatrix}.$$

En primer lugar, observe que por la igualdad de la diagonal entradas debemos tener $$|b|^2 = |c|^2.$$ Y, además, la comparación de las entradas fuera de la diagonal debemos tener $$ \overline{a}b + \overline{c}d = a\overline{c} + b\overline{d}, $$ $$ \overline{b}a + \overline{d}c = c\overline{a} + d\overline{b}. $$

En el caso real el primer requisito se reduce a $c=|b|$, pero para matrices complejas también podríamos, por ejemplo, $b=1$ e $c=i$. Por ahora vamos a considerar el caso real: el caso más general es arreglar $b$ y deje $c=|b|$. Entonces tenemos dos casos:

1. Si $b$ es no negativa $a$ e $d$ podría ser cualquiera de los valores reales.
2. Si $b$ es negativo $a=d$.

El segundo caso corresponde a su ejemplo - yo no consideran que este es más general que el primer caso - para los números reales 1 y 2 juntos es más general.

Así que ahora para los números complejos hay mucho más trabajo por hacer: usted puede explorar esto más a fondo, por ejemplo, la configuración de $a = a_1 + ia_2, b=b_1 + ib_2, \ldots$, la fijación de algunos y a continuación por las restricciones de los valores de las otras variables se podría asumir...