Son $\mathbb Q\times\mathbb Q$ y $\mathbb Q\times\mathbb Q\times\mathbb Q$ ¿Isomorfo?

Question

Lo sé. $\mathbb Q$ no es isomorfo a $\mathbb Q\times \mathbb Q$ como grupos. Pero, ¿es cierto para $\mathbb Q\times\mathbb Q$ y $\mathbb Q\times\mathbb Q\times\mathbb Q$ ?

Es decir, ¿son $\mathbb Q\times\mathbb Q$ y $\mathbb Q\times\mathbb Q\times\mathbb Q$ ¿son isomorfos como grupos? Donde $\mathbb Q$ es el conjunto de números racionales.

Answer 1

Me gustaría ampliar el comentario de Qiaochu Yuan. Se basa en un resultado que, aunque no es difícil de demostrar, puede no ser obvio para los estudiantes principiantes.

Teorema: Un mapa de grupos abelianos $\mathbb{Q}^m \to \mathbb{Q}^n$ también es un mapa de $\mathbb Q$ -espacios vectoriales.

Prueba. Dejemos que $T$ sea nuestro mapa. De la definición de un mapa entre grupos abelianos, tenemos $T(v+w)=T(v)+T(w)$ . Basta con demostrar que $T(rv)=rT(v)$ por cada $r\in \mathbb Q$ y $v\in \mathbb Q^m$ .

Por inducción, para cada $n\in \mathbb N$ tenemos $T(nv)=nT(v)$ . Combinando esto con $T(-v)=-T(v)$ obtenemos $T(nv)=nT(v)$ por cada $n\in \mathbb Z$ .( N.B. Esto no requiere más que la definición de grupo, y para un grupo no abeliano, utilizar la notación multiplicativa, $\phi(a^n)=\phi(a)^n$ se mantiene para homomorfismos de grupo arbitrarios).

Ahora tenemos que lidiar con la división. Primero, tenemos que definirla, ver que $v/k$ está bien definida, y observa que coincide con nuestra noción habitual de división. Decimos que $v/k=w$ si $kw=v$ . Si $ku=v$ entonces $k(w-u)=0$ . Pero como no hay torsión en $\mathbb Q$ No habrá en $\mathbb Q^m$ y así la división da una respuesta única. Es evidente que la noción habitual de división por un número entero satisface esta propiedad, por lo que hace exactamente lo que cabría esperar.

Por último, demostramos que $T(v/k)=T(v)/k$ . Esto se desprende de $kT(v/k)=T(k(v/k))=T(v)$ . Ahora podemos escribir $\frac{p}{q}T(v)=T(\frac{p}{q}(v))$ .