El clásico de la serie $e = \lim_{n \to \infty} X_n$ $X_n = \sum_{k=0}^n 1/k!$ Dónde está increíblemente eficiente. ¿Pero se sabe que es la serie más eficiente en términos de los denominadores para el uso de fracciones en la suma? ¿En otras palabras, se sabe si hay otra serie de fracciones $e = \lim_{n \to \infty} Y_n$ donde $Y_n = \sum_{k=0}^n a_k/b_k$ ($b_k > 0$, $a_k,b_k$ enteros) donde $\lim_{k \to \infty} b_k/k! \leq 1$ y $\lim_{n \to \infty} |(Y_n - e)/(X_n -e)| < 1$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
zzapper
Puntos
610
La fórmula clásica $X_n = \sum_{k=0}^{k=n} \frac{1}{k!}$ fue utilizado por A. Yee, en 2010, para calcular los primeros 500 millones de dígitos de correo. Por lo tanto supongo que el uso de $X_n$ es todavía el estado del arte de método para calcular el $e$.
Tengo una vaga razón para $X_n$ ser una muy buena elección para calcular el $e$. Observar el siguiente , $\frac{1}{10!} = 2.7557319e^{-7}$, $\quad$ $\frac{1}{11!} = 2.5052108e^{-8}$, $\quad$$\frac{1}{12!} = 2.0876756e^{-9}$
Como $k$ aumenta, el mayor valor decimal que $1/k!$ efecto se incrementa. Por lo tanto, uno puede calcular el primer $l$ decimales con precisión mediante el cálculo de $X_n$ finitas $n$. También, $n$ escala linealmente con respecto a la $l$
