Para cualquiera de los dos conjuntos, la potencia se establece:$\mathcal P(A\setminus B) = \mathcal P(A) \setminus \mathcal P(B)$?

Question

Para cualquiera de los dos conjuntos, la potencia se establece:$\mathcal P(A\setminus B) = \mathcal P(A) \setminus \mathcal P(B)$?

¿Esta prueba es correcta?

PS

Answer 1

No es el caso que: $$ x \ subseteq A \ setminus B \ iff x \ subseteq A \ land x \ not \ subseteq B $$

De hecho, la afirmación que intentas probar es en realidad falsa. Para un contraejemplo, considere$A = \{1, 2\}$ y$B = \{2, 3\}$. Observe que: $$ P (A \ setminus B) = P (\ {1 \}) = \ {\ varnothing, \ {1 \} \} $$ mientras que por otro lado: $$ P (A) \ setminus P (B) = \ {\ varnothing, \ {1 \}, \ {2 \}, \ {1, 2 \} \} \ setminus \ {\ varnothing, \ {2 \}, \ {3 \}, \ {2, 3 \} \} = \ {\ {1 \}, \ {1, 2 \} \} $$

Answer 2

Esta prueba no puede ser correcta, porque, digamos, si$A = \{1\}$ y$B = \{1, 2\}$, entonces$P(A - B) = P(\varnothing) = \{\varnothing\}$. Mientras tanto, $P(A) - P(B) = \{\varnothing, \{1\}\} - \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} = \varnothing$.

Answer 3

La inclusión no se mantiene en ninguna dirección.

$\mathcal P(A\setminus B)\subseteq\mathcal P(A)\setminus\mathcal P(B)$ siempre es falso, porque$\emptyset\in\mathcal P(A\setminus B)$ mientras$\emptyset\notin\mathcal P(A)\setminus\mathcal P(B).$

$ \ mathcal P (A) \ setminus \ mathcal P (B) \ subseteq \ mathcal P (A \ setminus B)$ is sometimes false: if $ x \ en A \ cap B$ and $ y \ en A \ setminus B ,$ then $ \ {x, y \} \ in \ mathcal P (A) \ setminus \ mathcal P (B)$ while $ \ {x, y \} \ notin \ mathcal P (A \ setminus B);
de hecho, $ \ mathcal P (A) \ setminus \ mathcal P (B) \ subseteq \ mathcal P (A \ setminus B)$ holds only when $ A \ subseteq B$ or $ A \ cap B = \ emptyset PS