Continuidad uniforme de$1/x^3$ en intervalos compactos.

Question

Entonces, tengo la función$f : (0,\infty) \to \Bbb R$. Con$f(x) = \frac{1}{x^2}$ y tengo que demostrar que$f(x)$ es uniformemente continuo en el conjunto$[1,\infty)$. ¿Es correcta la siguiente prueba?

$[1,\infty) = \cup_{n=1}^{\infty} [n,n+1]$. Y cada uno de esos conjuntos es compacto, y$f(x)$ es continuo, por lo que, por Heine-Cantor, es UC en cada conjunto compacto, y por lo tanto es UC en toda la unión de ellos.

¿Es esto coherente / consistente?

Answer 1

Saber que es uniformemente continuo en una secuencia de conjuntos compactos no es suficiente para saber que es uniformemente continuo en su unión. Considere el hecho de que$$(0,\infty)=\bigcup_{n=1}^\infty\left[\frac1n,n+1\right]$ $ con su función dada para ver por qué no.

En su lugar, recomiendo proceder con$\epsilon$ -$\delta$ fashion. Debido a que su función se vuelve cada vez menos pronunciada a medida que avanza hacia la derecha, debería ser suficiente encontrar un$\delta$ que funcione en$[1,2],$ y mostrar que realmente funciona en todas partes en$[1,\infty).$

Answer 2

$[1,\infty)$ no es compacto!

Sugiero una solución alternativa sin Heine-Cantor como sigue: Una condición suficiente para una continuidad uniforme es que

$f$ es diferenciable,$|f'|$ está delimitado.

Luego (desliza el mouse debajo para ver el spoiler)

PS

Answer 3

Si $f:[a,\infty)\to\mathbb R$ es una función continua tal que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$,, a continuación, $f$ es uniformemente continua.

Prueba de dibujo: Dado $\varepsilon>0$, elija $M>a$ tal que $|f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ al $x>M$. A continuación, elija $\delta>0$, $\delta<1$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ siempre $|x-y|<\delta$ e $x$ e $y$ están en el intervalo compacto $[a,M+1]$. De ello se desprende que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ siempre $|x-y|<\delta$ e $x$ e $y$ es $[a,\infty)$.

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Pero para esta función en particular, sólo podía jugar con $\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}$ a ver por qué es uniformemente continua, e incluso de Lipschitz. E. g., $$\left|\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}\right|=\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right|\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\leq \dfrac{|y-x|}{xy}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).$$ See what happens when you use $x,y\geq 1$?

Añadido: acabo de notar que tengo $\dfrac{1}{x^2}$ desde el cuerpo de la pregunta, pero el título dice $\dfrac{1}{x^3}$. No puedo actualizar mi respuesta, incluso si ésta es la intención, pero con un enfoque similar (un poco más complicado), se aplicarían.