¿Cuál es la representación matricial del operador de momento (generador de traslaciones) que se utiliza en los conmutadores del Grupo de Poincaré?

Question

Así pues, los conmutadores del grupo de Poincareé vienen dados por

$$\begin{eqnarray} [J_{i},P_{j}]=i\epsilon_{ijk}P_{k}, \quad [J_{i},J_{j}]=i\epsilon_{ijk}J_{k}, \quad [J_{i},K_{j}]=i\epsilon_{ijk}K_{k}, \quad [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon_{ijk}J_{k}, \quad [K_{i},P_{j}]=iH\delta_{ij}, \quad [J_{i},H]=[P_{i},H]=[H,H]=0, \quad [K_{i},H]=iP_{i} \end{eqnarray}$$

Donde el $P$ son los generadores de traslación (operadores de momento lineal), los $J$ son los generadores de rotaciones (operadores de momento angular), $K$ son generadores de impulsos, $H$ es la energía.

Los generadores de impulsos son

\begin{eqnarray} \textbf{K}=\left\{ \left( $$\begin{array}{cccc} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$$ \derecha), \left( $$\begin{array}{cccc} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$$ \right), \left( $$\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{array}$$ \right) \right\} \fin{eqnarray}

Y los operadores de AM son

\begin{eqnarray} \textbf{J}=\left\{ \left( $$\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{array}$$ \derecha), \left( $$\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \end{array}$$ \derecha), \left( $$\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}$$ \(derecha) \right\} \fin{eqnarray}

Es bastante sencillo deducir lo anterior a partir de las matrices de refuerzo y las matrices de rotación, respectivamente, pero estoy bastante confundido acerca de lo que el $P$ matrices y cómo derivarlas. Estoy seguro de que estoy pasando por alto algo simple, pero ninguno de los textos que tengo parece hacer esto explícitamente. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Los generadores de impulsos son

En primer lugar, ten en cuenta que has elegido una representación específica de los generadores del álgebra de Lie del grupo de Poincare, que es una representación matricial de tipo vectorial. Hay muchas representaciones en general (a continuación voy a escribir sobre ellos).

En tu pregunta, has elegido la representación matricial de los generadores del álgebra de grupos de Poincare en el espacio pseudoeuclidiano. La transformación de traslación es $$x_{a}\to x_{a}+b_{a}$$ Nótese que no es una transformación lineal en el espacio-tiempo de Minkowski, por lo que no puede representarse en términos de matrices.

Sin embargo, puede hacerse lineal si incrustamos el espacio-tiempo de Minkowski en un espacio-tiempo ficticio de 5 dimensiones con coordenadas adicionales $x_{5}$ . Entonces las transformaciones del grupo de Poincare están ahora en forma matricial: con $x = x_{\mu}, a = a_{\mu}, \Lambda = \Lambda_{\mu\nu}$ tenemos $$\begin{pmatrix} x{'} \\ x_{5}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ x_{5}\end{pmatrix}$$ Ahora puede obtener la representación matricial del operador de traslación. Intenta hacerlo.

En cuanto a la representación diferente, es posible representar los generadores en términos de operadores diferenciales. A saber, para la transformación de grupo $$x_{\alpha} = f_{\alpha}(a,x)$$ operador diferencial correspondiente $\hat{X}$ es $$\hat{X}_{i} = \left(\frac{df^{\alpha}(x, a)}{da_{i}}\right)_{a = 0}\partial_{\alpha}$$ Estos generadores, como puede demostrarse, preservan el álgebra de grupo de Lie. En términos de estos operadores, los generadores del grupo de Poincare $J_{\mu\nu},P_{\mu}$ son $$\hat{P}_{\mu} = i\partial_{\mu},\quad \hat{J}_{\mu\nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu})$$ (una edición)

¿Sobre qué objeto actúan, la función de onda?

Estas expresiones se derivan de los generadores, que has obtenido de la definición de las transformaciones del grupo de Poincare del vector 4 ordinario. Obtener los generadores para las transformaciones de la "función de onda" es una historia completamente diferente.

Brevemente, supongamos que tienes el mundo con simetría de Poincare. En el nivel de la mecánica cuántica esto significa que el módulo del producto escalar $\langle \kappa |\psi\rangle$ de estados $|\kappa\rangle |\psi\rangle$ del sistema es invariante bajo transformaciones del grupo de Poincare $|\psi\rangle \to |\psi'\rangle , \ |\kappa\rangle \to |\kappa'\rangle$ : $$|\langle \psi |\kappa \rangle|^{2} = |\langle \psi{'} |\kappa{'} \rangle|^{2}$$ Por el teorema de Wigner, esto significa que las transformaciones del grupo de Poincare se realizan linealmente y unitariamente (por simplicidad, aquí he omitido la discusión sobre el caso anti-lineal anti-unitario): $$|\psi{'}\rangle = U(\Lambda , a)|\psi\rangle$$ $$U(\Lambda , a) = \text{id} + ia^{\mu}\hat{P}_{\mu} + \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}\hat{J}_{\mu \nu},$$ donde $\omega_{\mu \nu}, a_{\mu}$ son parámetros de la transformación del grupo de Poincare, mientras que los operadores hermiteanos $\hat{P}_{\mu}, \hat{J}_{\mu \nu}$ se denominan generadores del grupo de Poincare.

Obsérvese que, en general, su forma explícita depende de la representación. En general, para $|\psi \rangle$ siendo representación irreducible del grupo de Poincare, $|\psi\rangle = |p, \sigma\rangle$ (con $p$ siendo el impulso y $\sigma$ siendo la etiqueta del llamado pequeño grupo de $p$ ), podemos utilizar la siguiente correspondencia $$|\psi\rangle \to \hat{a}^{\dagger}_{\sigma} \to \hat{\Psi}_{A},$$ donde $\hat{a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)$ es el operador de creación del estado con momento dado $p$ y proyección de espín (helicidad) $\sigma$ , $\hat{\Psi}_{A}$ es el campo de creación-destrucción con índices de espinor (en general) $A$ (puede ser un operador de 4 vectores, un operador espinor de Dirac, etc.). El número y la estructura de los índices, y por tanto la ley de transformación del campo bajo el grupo de Lorentz, se determinan a partir del valor del espín (helicidad) de la representación. En general, $$\hat{J}_{\mu \nu} = i(x_{\mu}\partial_{\nu} - x_{\nu}\partial_{\mu}) + \hat{M}_{\mu \nu},$$ donde $\hat{M}_{\mu \nu} = (M_{\mu \nu})_{A}^{\ B}$ es la matriz de generadores de una representación finito-dimensional dada del grupo de Lorentz. Esto determina la ley de transformación de la "función de onda" $\hat{\Psi}$ (precisamente, la transformación de coeficientes cerca de $\hat{a}$ , $\hat{a}^{\dagger}$ en la expansión de $\hat{\Psi}$ ).

Le site $\hat{P}$ es obviamente el operador de momento lineal con $\hbar = 1$ pero, ¿qué son los $\hat{J}$ 's?

$\hat{P}_{\mu}$ se denomina operador 4-momemtum, mientras que $\hat{J}_{\mu \nu}$ se denomina operador de momento angular. La razón de ello es que frecuentemente pueden obtenerse a partir de los tensores clásicos de tensión-energía y momento angular (que se obtienen a partir del teorema de Noether) utilizando reglas de correspondencia. Correspondientemente, $\hat{J}_{i} = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\hat{J}^{jk}$ se denomina operador de momento angular, mientras que $\hat{K}^{i} = -\hat{J}^{0i}$ se denomina operador boost. En el límite clásico $\hat{K}^{i}$ está asociado al vector del centro de energía. Esto se puede ver mediante el uso de operadores diferenciales para la representación de 4 vectores del grupo de Poincare.