Encuentra todos los pares de interger que satisfacen$x^2+11 = y^4 -xy$ y$y^2 + xy= 30$

Question

Encontrar todos los pares de intergers $(x,y)$ que satisfacen las dos ecuaciones siguientes:

$x^2+11 = y^4 -xy$

$y^2 + xy= 30$

Esto es lo que hice:

$x^2+11 +(30) = y^4 -xy +(y^2 + xy)$

$x^2+41 = y^4 +y^2$

$x^2 = y^4 +y^2 - 41$

$x^2 -49 = y^4 +y^2 - 41 - 49$

$(x+7)(x-7)= (y^2 +10) (y^2-9)$

Y de aquí se obtiene que dos pares pueden ser: $(3,7)$ e $(-3,-7)$.

Creo que he hecho algunos progresos, pero no sé si esas son las únicas dos pares que satisfacen la ecuación.

También me gustaría ver una forma distinta de resolver esto ya que creo que se resta ese $49$ fue solo suerte.

Answer 1

Continuando su cálculo,

$(\dfrac{30-y^2}y)^2=y^4+y^2-41,y≠0$

$⇒y^4-60y^2+900=y^2(y^4+y^2-41)$

$⇒y^6+19y^2-900=0$

$⇒y^2(y^4+19)=900$

Esto le da a la solución entera$y^2=9$.

Answer 2

SUGERENCIA: De la segunda ecuación obtenemos que$y \mid 30$. Como$30$ tiene$16$ divisores (tanto negativos como positivos), puedes mirarlos por separado. Además, esto determina de forma única$x$, por lo que solo tiene que conectarlo en la primera ecuación para verificar si el par es una solución.

Answer 3

Aquí hay otra manera. Tenga en cuenta que $y$ debe ser un factor de $30$ debe $x+y$ (ambos de la segunda ecuación).

Usted puede volver a escribir la primera como $(y^2+x)(y^2-x)=xy+11=$ y el uso de la segunda $=41-y^2$

Ahora tenga en cuenta también que el cambio de los signos de $x$ e $y$ todavía da una solución, por lo que podemos suponer $y\gt 0$.

Si tanto $x$ e $y$ son positivas $xy+11\gt 0$ e $y\le 6$

Si $y$ es positiva y $x$ es negativa, entonces la $x+y\gt 0$ a partir de la segunda ecuación, de modo $y\gt -x$, y desde $y^2 \ge y$ tenemos también que $y^2\gt -x$, de donde $(y^2+x)(y^2-x)\gt 0$ e $y\le 6$

Tan positiva $y$ está restringido a $y\le 6$, y las posibilidades son fácilmente probado.

Answer 4

Después de procesar $x^2=y^4+y^2-41$, completar el cuadrado en el lado derecho. Multiplicando por $4$ para eliminar las fracciones, a continuación, da

$(2x)^2-(2y^2+1)^2=-165$

A continuación, a partir de la diferencia de los cuadrados de la factorización de los siguientes son ambos divisores de $165$, con producto de la $-165$:

$2x+2y^2+1$

$2x-2y^2-1$

Su suma es, a continuación, $4x$ cual debe ser la suma de dos divisores de $165$, uno positivo y uno negativo, con el producto adecuado; por lo tanto

$4x=\pm(165-1)=\pm 164, x=\pm 41$

O

$4x=\pm(55-3)=\pm 52, x=\pm 13$

O

$4x=\pm(33-5)=\pm 28, x=\pm 7$

O

$4x=\pm(15-11)=\pm 4, x=\pm 1$

Y tratamos de que todos estos para encontrar entero raíces para $y$, encontrando que sólo $x=\pm 7$ lo hace.

Answer 5

SUGERENCIA: si desea tener otra forma, puede hacer lo siguiente: $$y^2+xy-30=0\iff 2y=-x\pm\sqrt{x^2+120}$$ the only possibilities are $x = \ pm1 \ text {or} \ pm7$ and $x = \ pm1$ is not compatible. This proves that $(7,3)$ and $(- 7, -3)$ son las únicas soluciones.