Comparando campos con el mismo grado

Question

Pregunta de dos partes: ¿Son los campos$\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})$ y$\mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}, i, \sqrt{3})$ idénticos en la estructura algebraica? Tengo en cuenta que ambos tienen un grado de 6 sobre$\mathbb{Q}$.

¿Cómo muestro explícitamente que$\mathbb{Q} ( i \sqrt{3})$ es solo el grado 2 sobre$\mathbb{Q}$? El truco habitual es unirse a las raíces reales y luego unirse a la raíz compleja, pero es una historia diferente cuando no es solo$i$ por sí mismo.

Edición: Estoy empezando a desconfiar de que el grado de las dos extensiones sea idéntico.

Answer 1

Para empezar, ni$i$ ni$\sqrt{3}$ están en$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},i\sqrt{3})$. Y creo que tienes razón al desconfiar de que los grados son iguales ya que$|\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},i,\sqrt{3})/\mathbb{Q}|=12$.