¿ Cómo podemos resolver el

Question

¿Cómo podríamos resolver $$\sqrt{x} - \ln(x) -1 = 0$$ without using Mathematica? Obviously a solution is $x = 1$, pero cuáles son las otras soluciones exactas? Esta pregunta está inspirada en mi primera pregunta ¿Cómo podemos resolver:$\sqrt{x} + \ln(x) -1 = 0$? . Aquí la situación no está clara. ¿Algunas ideas?

Answer 1

La otra solución real, según Arce, es $4 \text{LambertW}(-1, -e^{-1/2}/2)^2$, que es aproximadamente $12.34020237$. Tenga en cuenta que si $f(x) = \sqrt{x} - \ln(x)$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x}-2}{x}$, por lo $f(x)$ es la disminución en el $(0,4]$ y aumentando en $[4,\infty)$. Desde $f(4) = 2 - 2 \ln(2) < 0$ mientras $f(x) \to +\infty$ as $x \to 0+$ y $x \to +\infty$, hay dos soluciones reales, una en $(0,4)$ y una en $(4,\infty)$.

Para explicar que LambertW solución: si $x = 4 t^2$ con $t > 0$, la ecuación dice $$4 t^2 = x = e^{\sqrt{x}-1} = e^{2 t-1}$$ y así $$-t e^{-t} = -e^{-1/2}/2$$ Ahora $\text{LambertW}(s)$ está definido para ser una solución de $w$ de % de$w e^w = s$. Si $e^{-1} < s < 0$, como en este caso,$s = -e^{-1/2}/2$, hay dos soluciones reales, la "rama principal" (que en este caso da $t=1/2$ e lo $x=1$), y el "$-1$ rama". Hay infinitamente muchas otras ramas, que son todo el complejo.

Answer 2

Podría dejar a$x=e^t$, y tratar con la ecuación$f(t) = e^{\frac{t}{2}}-t-1 = 0$ en su lugar. Es inmediato que$f''(t)> 0$ (es decir, estrictamente convexo),$f(0) = 0$,$f'(0) <0$ y$\lim_{t\to\infty} f(t) = \infty$. De ahí que la ecuación tenga exactamente dos soluciones.

Como$f(4)>0$ y$f$ es convexo, el uso del método de Newton (es decir,$t_{new} = t-\frac{f(t)}{f'(t)}$) producirá una secuencia decreciente que converge rápidamente (de forma cuadrada) a la otra solución. A partir de$4$, en 7 iteraciones, la secuencia llega al piso de ruido de mi máquina con$t \approx 2.51286241725234$. Esto corresponde a$x \approx 12.3402023625440$.