¿Hay un modelo de ZFC tal que$\aleph_\omega^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+2}$?

Question

Según el teorema de Easton, es consistente con ZFC que$2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1}$ se mantiene, y si asumimos que$2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1}$ entonces$$\aleph_{\omega+1}\le 2^{\aleph_0}\le \aleph_\omega^{\aleph_0}\le \aleph_{\omega+1}^{\aleph_0} =(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1}$ $ entonces es consistente con ZFC que$\aleph_\omega^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+1}$, y conjeturo que $\aleph_\omega^{\aleph_0}=\aleph_{\omega+2}$ es consistente con ZFC. ¿Pero cómo probarlo? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sí. Fácilmente (si uno está familiarizado con forzar). Comience con un modelo de$\sf GCH$. Ahora obliga a que por cada$\alpha\in\omega\cup\{\omega+1\}$:

PS

Entonces tenemos la igualdad deseada, por las mismas consideraciones que en su pregunta.

(De hecho, si uno comienza con$$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\omega+2}$ entonces solo necesitamos forzar$\sf GCH$, el resto sigue).