Análisis real elemental - Avísame si estoy en el camino correcto

Question

Así que supongo que este es un muy sencillo ejemplo para este tema pero solo quiero comprobar a mí mismo como soy nuevo en esta área de análisis y no está seguro de que lo que estoy diciendo es matemáticamente de sonido.

La cuestión es mostrar que $\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1} =1$.

Así que debemos mostrar como $x \to -\infty$, $\left|\tfrac{x^2+1}{x^2-1} -1\right| < \epsilon$.

Mi intento es :

\begin{align*} \left|\dfrac{x^2+1}{x^2-1} -1\right| &=\left|\dfrac{x^2+1}{x^2-1} - \dfrac{x^2-1}{x^2-1} \right| \\\\ &=\left|\dfrac{(x^2+1)-(x^2-1)}{x^2-1} \right| \\\\ &=\left|\dfrac{x^2-x^2+1+1}{x^2-1}\right| \\\\ &=\left|\dfrac{2}{x^2-1}\right| < \left|\dfrac{2}{x^2-4}\right| = \left|\dfrac{2}{(x+2)(x-2)}\right| \\ \end{align*}

Ahora es donde no estoy 100 por ciento seguro de que lo que estoy haciendo es correcto, podemos decir, entonces, que como $x$ enfoques infinito negativo, $(x+2)$ e $(x-2)$ ser muy grande y negativa, y por lo tanto $2/(x+2)(x-2)$ se convierte en más y más pequeño y así, para cualquier $\epsilon>0$,

$$\epsilon > \left|\dfrac{2}{(x+2)(x-2)}\right| > \left|\dfrac{2}{x^2-1}\right| = \left|\dfrac{x^2+1}{x^2-1} -1\right|$$ demostrando así el problema original ... es este ok/riguroso?

por favor no sean muy duros conmigo realmente estoy todavía tratando de captar las ideas y comprender exactamente lo que son 'permiso' para hacer .. gracias por la ayuda

Answer 1

Supongamos$\epsilon>0$, entonces

$$ \begin{align*} \left|\frac{x^2+1}{x^2-1} - 1\right| < \epsilon &\Rightarrow \left|\frac{2}{x^2-1}\right| < \epsilon \\ &\Rightarrow \left|\frac{x^2-1}{2}\right| > 1/\epsilon \\ &\Rightarrow |x^2-1| > \frac{2}{\epsilon}. \end {align *} $$

cuando $x^2-1 > 0$, $x^2>1 $, $|x| > 1$,

así que cuando $(x^2-1)>2/\epsilon$)

$|x|>1$

$x^2 > 2/\epsilon+1$

por lo tanto :

Dado cualquier$|x| > \sqrt{2/\epsilon+1}$,$\epsilon > 0 $

cuando $\left|\frac{x^2+1}{x^2-1} - 1\right| < \epsilon$.

ta da!

Referencias: M Turgeon ese rey!