Existencia de soluciones positivas de una PDE lineal en variedades cerradas.

Question

Me preguntaba si existe una condición suficiente (o una condición suficiente y necesaria) para la existencia de soluciones positivas de la siguiente PDE lineal en una variedad cerrada$(M, g)$,

\begin{equation*} \Delta u +\nabla u\nabla f +hu=0. \end {ecuación *} donde$f, h\in C^{\infty}(M)$.

Obtuve algunas condiciones necesarias usando la fórmula de Stokes, pero no pude encontrar una declaración de condición suficiente o condición suficiente y necesaria. Muchas gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero algunas observaciones.

En primer lugar, estoy asumiendo $M$ es compacta y orientable, etc. $h$ alcanza su máximo $C$ en algún lugar de $M$, por lo que el $k(q) = C - h(q)$ es no negativa.

Su PDE, a continuación, se convierte en el autovalor problema $$Lu = Cu$$ donde $$L = -e^{-f}\nabla \cdot \left(e^f \nabla u\right) + k u$$ es positivo elíptica operador en $M$. Por $f$ e $k$, esta ecuación tiene soluciones no triviales sólo para countably muchos valores positivos de $C$, y no negativo de soluciones de $u$ si y sólo si $C$ es el mínimo autovalor de $L$.

No tengo idea de cómo ir sobre la formulación de una condición suficiente para $C$ siendo que autovalor, aunque.