¿Qué hay detrás de la paradoja de Banach-Tarski?

Question

El descubrimiento de la Banach-Tarski paradoja era, por supuesto, una gran cosa en las matemáticas, pero plantea el problema de la relación entre las matemáticas y la realidad. Empíricamente, hay buenas razones para la fe en pruebas matemáticas: bueno derivados de teorías matemáticas y fórmulas, se utiliza de una manera exacta en la ciencia, traer realmente observables en los resultados. Yo no conozco a ningún científico fracasos cuando los resultados matemáticos fue culpado.

Naturalmente constructivo pruebas son preferibles, pero no debería haber ningún problema con no-constructiva de las pruebas: la matemática de la lógica de la maquinaria deberá garantizar el éxito esperado. Con o sin el uso de la ley del medio excluido!

Entonces, ¿cómo explicar la no-intuitiva del teorema de Banach-Tarski? Que son los "pilares débiles" o combinaciones de ellos? Personalmente no puedo ver el axioma de elección como un problema, ya que sólo es una condición de lo que se llama un conjunto. Es el teorema tal vez, un signo de falta de continuidad en la realidad?

Realmente me gustaría una gran lista de sugerencias de lo que "axiomas" podría ser cambiado para evitar la "posibilidad" de un teorema.

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He estado considerando. Supongamos que un nuevo discretos teoría sobre el espacio y el tiempo se ha desarrollado y se ha encontrado para ser consistente con las observaciones. ¿Cuánto tiempo toma antes de una correspondiente teoría fue desarrollada a partir de una pura perspectiva geométrica? Comparar con las correspondientes teorías de Heisenberg y Schrödinger!

Lo que se explicó en una forma en la discreta teoría tal vez fue descrito de una forma totalmente differnt manera en el continuo de la teoría? Y quién sabe, tal vez similar construcciones como en la paradoja de Banach-Tarski y Sierpinski-Mazurkiewicz, sería utilizado para explicar la expansión de lo que ahora se llama energía oscura? E incluso "peor", para explicar el resultado de la alta energía de las colisiones protón - protón?

Se me ocurre que la relación de los términos de consistencia, ya que se utiliza en matemáticas es todo lo que se necesita para la matemática material para ser utilizado en las teorías científicas. Los físicos hacen, a veces, utilizar las matemáticas en formas extraordinarias y obtener buenos resultados.

Pero eso no lo hace menos interesante para reflexionar sobre los pilares de las "paradojas".

También, gracias por volver a abrir y para grandes respuestas!

Answer 1

En todo caso, la no-realidad de la Banach-Tarski descomposición es porque la establece el teorema habla acerca de la falta de continuidad de la que en realidad tiene. Aunque el teorema divide a la esfera en un número finito de "piezas", esas piezas no existen como objetos físicos; los puntos dentro y fuera de la serie son demasiado fino entremezclan para hacer que sea razonable para cortar físicamente de un continuum.

Sin embargo, no necesitamos ir a Banach-Tarski, o incluso el Axioma de Elección o no-constructivo con el fin de ver esta situación.

Por ejemplo, considere un cubo en $\mathbb R^3$ y se divide en dos partes: una que consiste de puntos con al menos uno racional de coordenadas, y otro que consiste en aquellos puntos que tienen todas las coordenadas irracional.

Estas "piezas" son igual de no físico como las piezas en el Banach-Tarski descomposición, pero la definición de lo que se requiere no matemáticamente cuestionable fundamental en todos los supuestos. No parecen "paradójica" como el de Banach-Tarski piezas, ya que de pasar a ser de Lebesgue medibles, pero que sólo nos dicen que simplemente ser medibles no significa que un conjunto de puntos es físicamente significativa.

Answer 2

Hay un axioma implícito que la gente asume

los conjuntos de puntos en el plano debe ser significativa geométricamente

Esto, por supuesto, no es un axioma de ZFC o de análisis real; esta es una forma implícita de la expectativa de la gente que quiere aplicar la teoría de conjuntos a problemas geométricos.

Teoría de la medida, una de las más general y potentes herramientas para la definición de los contextos donde se pueden "medir" las cosas, nos da la frase "medibles conjunto", y las herramientas de la teoría de la medida sólo se aplica a los conjuntos medibles.

Por supuesto, la mayoría de las cosas que hacemos son medibles. La gente quiere ir tan lejos como para pensar en el adjetivo "medibles" como ser un mero tecnicismo de que uno realmente no tiene que prestar atención.

Por supuesto, los problemas con este axioma se conoce ya antes del descubrimiento de la Banach-Tarski paradoja. Sin embargo, era raro y complicado, por lo que la gente no se siente tan fuertemente sobre este axioma fallando.

Hay una especie de metaprinciple que si empiezas con algo razonable, terminar con algo razonable, y hacer razonable cosas en el medio, el resultado debe ser significativa. El axioma de que la gente realmente quiere suponer que es

razonable de los conjuntos de puntos en el plano tratado de manera razonable, de manera que produzca resultados que nos diga algo con sentido

Y para ser justos, esto no es una cosa terrible a querer asumir; esto significa que podemos ignorar una gran cantidad de tecnicismos que si las cosas no huelen mal. Y, de hecho, una gran cantidad de cálculo sólo funciona en estas condiciones; hay una gran cantidad de teoremas que apoyan el anterior axioma en una amplia variedad de situaciones.

El Banach-Tarski paradoja, sin embargo, cierra el resto de las lagunas. Una pelota es un conjunto razonable. Dos bolas son un conjunto razonable. La división de una bola en un número finito de piezas es razonable. En movimiento se pone alrededor con Euclidiana movimientos es razonable.

La única cosa extraña es que las piezas individuales no son medibles.

El hecho de que hicimos todo lo razonablemente a excepción de que una condición técnica y no se pudo obtener un resultado razonable parece irk personas bastante. Se lleva a casa el punto de que si usted desea utilizar medidas que usted realmente necesita saber si las cosas que estás haciendo resultar en conjuntos medibles.

Ahora, en cuanto a la pregunta concreta a la que se le preguntó, la única axiomas que necesitamos deshacernos de los dos blockquoted axiomas he dicho anteriormente. Nunca fueron los axiomas de las matemáticas de todos modos, por lo que desde esa perspectiva estamos ya hecho!

Claro, es técnicamente un teorema de matemáticas, sino que estaban interesados en la medición de las cosas, y no es un teorema acerca de conjuntos medibles, por lo que ya se supone que debemos hablar de conjuntos medibles, el teorema no es relevante para nosotros y no hay nada de qué preocuparse.

(naturalmente, hay personas que están más involucradas sus axiomas implícitos en lugar de la conveniencia de que el axioma de elección nos da, rechazando así el axioma de elección en favor de la adopción del axioma de que todos los subconjuntos de los números reales son medibles)

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Y un bono de broma: ¿qué es un anagrama de Banach-Tarski?

De Banach-Tarski De Banach-Tarski

Answer 3

Yo sugeriría que el axioma de la culpa es el axioma de infinitud. El mundo físico sólo se ocupa de finito de conjuntos, que es por eso que nunca encuentro estas paradójicas descomposiciones en la práctica; vienen automáticamente cualquier momento conjuntos infinitos son los involucrados.

Casi por definición, un conjunto infinito es aquel que es igual en tamaño a un subconjunto. Geométricamente hablando, se puede traducir el conjunto de los números naturales por una unidad y obtener exactamente el mismo conjunto, pero dejando de lado un punto. Como los matemáticos a menudo damos por sentado, pero esto ya debería de conseguir su sentido común-advertencia-campanas - sólo puede recoger algo, mover, y tiene que caber dentro de sí mismo, con espacio de sobra!

Ok, pero que es un conjunto que se "sale al infinito", así como el tiempo que restringir a acotada establece que estamos bien, ¿verdad? Nope, puede envolver una copia de los números naturales alrededor de un círculo (la rotación de un irracional múltiples de pi cada vez), y simplemente por la rotación de este conjunto, de nuevo llegar una copia de este conjunto, pero con puntos de quitar. Ningún axioma de elección involucrados.

Ok, pero todos estos ejemplos no son tan malas como la de Banach-Tarski, puede decir - sí, se obtiene un conjunto que es congruente a un subconjunto, pero usted no puede dividir un conjunto en dos ejemplares del mismo tamaño que el original.

Así lo y he aquí, el profundo y oscuro secreto de descomposición paradójica: Un conjunto en el plano de lo cual es congruente (nota: no sólo equidecomposable, en realidad congruentes) a dos disjuntos copias de sí mismo. Y es un conjunto que puede definir explícitamente. Ningún axioma de elección es necesario. El Sierpinski-Mazurkiewicz paradoja.

La única diferencia entre este paradójico de la descomposición y el de Banach-Tarski paradoja es que esta no se rompa nuestra intuición de medida (los conjuntos involucrados son de medida cero). Pero la prueba de Banach-Tarski en realidad comienza casi de forma idéntica a ésta; la paradoja viene de una expresión algebraica de la construcción (esencialmente, la carne de Banach-Tarski paradoja es que el grupo en dos generadores incrusta en el grupo de rotaciones de una esfera). El único problema es que esta construcción da una medida de cero subconjunto de la esfera. El axioma de elección, simplemente te permite "carne" la paradójica piezas que se encuentran para cubrir toda la bola. Su papel es el de un puente de medida cero a medida positiva (que es por qué es tan útil en el análisis y debemos definitivamente no deshacerse de él); la paradoja en sí viene de álgebra. Y todo esto algebraicas necesidades en materia de construcción es para conjuntos infinitos de existir.

A pesar de que se siente muy cursi para terminar con una Wikipedia cita, siento que su artículo sobre paradójico establece lo dice mejor: "Paradójico conjuntos de existir como consecuencia del Axioma de Infinitud. La admisión de infinitas clases de conjuntos es suficiente para permitir paradójico conjuntos."

Answer 4

Hay una división de Banach-Tarski teorema en un constructiva y no constructiva parte.

La primera, que como von Neumann demostró que es el principio detrás de muchos problemas similares, es la existencia de un no conmutativa grupal gratis, $F$ dentro del grupo de congruencias de espacio 3-dimensional. La prueba de que tal grupo existe, no usar el axioma de elección, y es la parte más dura de la prueba que se utiliza "matemática real de los hechos".

La segunda, no constructiva parte es la de tomar una sección transversal del cociente por la acción de un (2-generador subgrupo de) $F$ a fin de obtener las piezas de la descomposición. Para ello se utiliza el axioma de elección, es probablemente equivalente a la de CA o un poco más débil innumerables principio de elección, y es inteligente, pero la más fácil y la parte más formal del argumento.

Lo que iba a sobrevivir sin el axioma de elección o como son las pruebas de que la distancia Euclídea isometría (o de rotación, volumen-la conservación, etc simetría) grupos contienen pares de elementos de generación de libre subgrupo. Que ya no implica una paradójica descomposición en piezas congruentes, pero también es posible que el no constructiva teoría puede ser adaptado en alguna manera de obtener de forma análoga a la restricción en la existencia de congruencia-invariante medidas a partir de la existencia de la libre subgrupo. Por ejemplo, si usted permite que los cierres de las piezas y no sólo congruentes copias, sin CA es necesario para obtener una descomposición:

http://www.ams.org/journals/jams/1994-07-01/S0894-0347-1994-1227475-8/S0894-0347-1994-1227475-8.pdf

También podemos probar relacionados de "paradojas" que ... son totalmente constructivo y no hacer uso del Axioma de Elección. ... uno puede encontrar una colección finita de abiertos disjuntos subconjuntos de la unidad de pelota, que puede ser reordenada adecuado isometrías para formar un conjunto cuyo cierre es una sólida bola de radio 10^10 [Dougherty y el Capataz, de Banach-Tarski Descomposiciones Uso de Conjuntos con la Propiedad de Baire]

Answer 5

EDITAR: Tal vez más precisamente, no suponer la existencia de conjuntos incontables, pero permitir la existencia de conjuntos incontables es uno de los temas. En nuestro universo / realidad hay muchos átomos finitos (alguien por aquí puede tener una buena estimación de la cantidad total), que no permite las construcciones en Banach-Tarski.