Mínimo común múltiplo: número de triples$(x,y,z)$

Question

Deje que$x, y, z$ sean enteros positivos. Encuentra el número de triples$(x,y,z)$ satisfactorio

$[x,y] = 72, [x,z] = 600, [y,z] = 900$.

$[a,b]$ = mcm de$a,b$

No estoy seguro de si estoy en el camino correcto,

$[x,y] = 2^3\cdot3^2$ para$v_2(x) = 3$ o$\;v_2(y) = 3$

$[x,z] = 2^3\cdot3\cdot5^2$ para$v_3(x) = 1$ o$v_3(y) = 1$

$[y,z] = 2^3\cdot3^2\cdot5^2$ para$v_3(y) = 2$ o$v_3(z) = 2$

Desde$[x,z] = 2^3\cdot3\cdot5^2$, entonces$v_3(z) \leq 1$ y$v_3(y) = 2$

Por favor sugiéreme sobre cómo proceder.

Answer 1

No estoy seguro de si estoy en el camino correcto,

$[x,y] = 2^3\cdot3^2$ para$v_2(x) = 3$ o$\;v_2(y) = 3$

Esto no es correcto. Tenemos $\max(v_2(x),v_2(y))=3$.

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Ya que$$[x,y]=72=2^3\cdot 3^2,\quad [x,z]=600=2^3\cdot 3^1\cdot 5^2,\quad [y,z]=900=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2$ $ podemos escribir$$x=2^{v_2(x)}3^{v_3(x)},\quad y=2^{v_2(y)}3^{v_3(y)},\quad z=2^{v_2(z)}3^{v_3(z)}5^\color{red}{2}$ $ satisfaciendo$$\max(v_2(x),v_2(y))=3,\quad \max(v_2(y),v_2(z))=2,\quad \max(v_2(x),v_2(z))=3$ $$$\max(v_3(x),v_3(y))=2,\quad \max(v_3(y),v_3(z))=2,\quad\max(v_3(x),v_3(z))=1$ $ a partir del cual tenemos$$v_2(x)=3,\quad v_3(y)=2$ $ Entonces, una condición necesaria y suficiente es$$\max(v_2(y),v_2(z))=2\quad\text{and}\quad \max(v_3(x),v_3(z))=1,$ $ ie$$(v_2(y),v_2(z))=(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2)$ $ y$$(v_3(x),v_3(z))=(0,1),(1,1),(1,0)$ $ Por lo tanto, la respuesta es$$5\times 3=\color{red}{15}$ $