Definición de Integral Definido Sin Firmar

Question

En Terence Tao del papel Diferencial de las Formas y de Integración, se menciona que hay $3$ nociones de integración cuando se habla de las funciones de $f: \Bbb R \to \Bbb R$

• Indefinido Integrales: $\int f(x)\ dx$
• Unsigned Integrales Definidas: $\int_{[a,b]} f(x)\ dx$
• Firmado Integrales Definidas: $\int_a^b f(x)\ dx$

Conozco bien las definiciones de integral indefinida -- $\int f(x)\ dx = F(x) \iff F'(x) = f(x)$ -- y la firma de la integral definida -- a través de la Darboux o suma de Riemann definiciones. Pero nunca he oído hablar de un sin signo de la integral definida, y no puedo encontrar una definición rigurosa de la misma.

¿Cuál es la definición de la sin signo de la integral definida?

Answer 1

Dado un conjunto $S$ en una medida de espacio y una medida $dx$, se puede considerar la integral $$ \int_S f dx$$ de una función integrable $f$. Por ejemplo, podemos fijarnos en los $$ \int_{[0,1]} 1 dx = 1.$$

Uno podría pronunciar esto como una parte integral de la función constante $1$ sobre el intervalo de $0$ a $1$.

No hay manera de asociar un signo de la especificación del conjunto. El conjunto no tiene orientación, para pedir prestado un término que procede de la integración en los colectores.

Reconocemos esto como siendo de la misma $$ \int_0^1 1 dx = 1.$$ Pero esta última notación es firmado, como se evidencia por la pronunciación natural como la integral de la función constante $1$ de $0$ a $1$. Con la notación, sino que también tiene sentido hablar de $$ \int_1^0 1 dx = -1.$$

En este sentido, esta última integral es firmado.

Más en general, existen firmado integrales sobre cualquier variedad diferenciable. Hay sin signo de diferenciación a través de cualquier medida de espacio.