Representación diferente de$\sin^2x$

Question

Estoy aprendiendo trigonometría, y solo estaba mirando el gráfico$y = \sin^2(x)$. Para mí, se ve igual que un$y = -\cos(x)$ cambiado. Más específicamente, parece que$y = -0.5\cos(2x) + 0.5$. ¿Son estas dos funciones las mismas? Y esta es mi primera publicación aquí, así que no estoy seguro de cuán buena es esta pregunta. Gracias.

Answer 1

Sí,$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)$ por lo tanto:

$$\ sin ^ 2 (x) = \ frac {1 - \ cos (2x)} {2}$$

Asimismo,$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ y por lo tanto:

$$\ cos ^ 2 (x) = \ frac {\ cos (2x) + 1} {2}$$

Answer 2

Me gustaría subrayar que la relación de $\sin(x)^2 =0.5 -0.5\cos(2x)$ puede ser considerado como la serie de Fourier de desarrollo de $\sin(x)^2$, que es bastante una excepción - es "exacta" con sólo dos términos.

Uno puede, en particular, reconocer que la presencia de $\cos(2x)$ significa que hay un armónico simple con una duplicación de la frecuencia (ver figura : $y=\sin(x)$ en rojo, $y=\sin^2(x)$ de azul ; tenga en cuenta que, al cuadrado, simple raíces se vuelven el doble de raíces).

Un comentario similar puede hacerse para el doble fórmula $\cos(x)^2 =0.5 +0.5\cos(2x)$.