Fibras de una función holomórfica

Question

Dejemos que $f$ : $U\rightarrow V$ sea un mapa holomorfo propio donde $U$ y $V$ son subconjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ con $V$ conectado. Demuestre que la cardinalidad de las fibras de $f$ es decir $f^{-1}(\{z\})$ contados con las multiplicidades son los mismos para cada $z \in$ $V$ . Esto se parece a la propiedad de los mapas de cobertura y por eso estaba tratando de probar si $f$ es un homeomorfismo local o un mapa de cobertura, pero en vano. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esto es muy sencillo utilizando algunos análisis complejos.

Desde $f$ es adecuado, dado $p\in V$ y lo suficientemente pequeño $\epsilon>0$ existe un ciclo $\Gamma\subset U$ de manera que si $|p-q|<\epsilon$ entonces todos los ceros de $f-q$ mentir "por dentro" $\Gamma$ y de hecho tal que si $z$ es un cero de $f-q$ entonces el índice de $\Gamma$ sobre $z$ es $1$ (también el índice de $\Gamma$ sobre cualquier punto de $\Bbb C\setminus U$ es $0$ .).

Los detalles se añaden a petición: Si $\epsilon>0$ es lo suficientemente pequeño, entonces $\overline{D(p,\epsilon)}\subset V$ ya que $f$ es adecuado esto demuestra que $K=f^{-1}(\overline{D(p,\epsilon)})$ es un subconjunto compacto de $U$ . Por lo tanto, por un resultado sin nombre que aparece en la mayoría de los libros de análisis complejo porque se necesita mucho, existe un ciclo $\Gamma\subset U\setminus K$ con índice $1$ sobre cada punto de $K$ y el índice $0$ sobre cada punto de $\Bbb C\setminus K$ . (Con disculpas por conocer un libro en particular mejor que los otros, este es el Lemma 10.5.5 en Lo complejo se hace sencillo .)

Por lo tanto, si $|p-q|<\epsilon$ el número de ceros de $f-q$ es $$\frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f'(z)}{f(z)-q}\,dz.$$ Esa integral depende continuamente de $q$ ...

Answer 2

He aquí un lema útil:

Lema. Dejemos que $X,Y$ sean espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos, $f : X \to Y$ continua, abierta, propia, sobreyectiva y con fibras discretas. Sea $K$ sea una vecindad de $y \in Y$ , $y_1, \ldots, y_n$ sus preimágenes (un número finito, por propiedad y discreción) y $K_i$ un barrio de cada $y_i$ . Entonces existen vecindades abiertas disjuntas $V_i \subseteq K_i$ de la $y_i$ y un barrio abierto $V \subseteq K$ de $y$ tal que $f^{-1}(V)$ es la unión disjunta de los $V_i$ .

No es nada profundo (puedes probarlo). Es similar a la prueba de que un homeomorfismo local propio y sobreyectivo es un mapa de cobertura. La única diferencia es que aquí no tenemos inyectividad local.

Obsérvese que propio implica cerrado, por lo que propio+abierto+ $Y$ conectada implica subjetiva.

Ahora dejemos que $X=U$ , $Y=V$ como en la pregunta. Por el lema, fuera del conjunto $B$ de puntos de bifurcación (imágenes de puntos donde la derivada $f'$ desaparece) $f$ es un mapa de cobertura (por el lema + ahora tenemos inyectividad local en las preimágenes). En particular, el tamaño de las fibras es constante en los componentes conectados de $Y - B$ , digamos que igual a $n$ .

Si $f$ propio, el conjunto de puntos de bifurcación es cerrado (por cerrazón) y discreto (por propiedad) en $V$ . En particular, $Y-B$ está conectado.

Queda por comprobar lo que ocurre en la vecindad de un punto de bifurcación $y$ . Tome $V$ y $V_i$ como en el lema. Basta con comprobar que el número de preimágenes es constante para cada una de las restricciones $f : V_i \to V$ . En tales $V_i$ , $f$ tiene la forma $y + a_{m_i}(z-y_i)^{m_i} + a_{m_i+1} (z-y_i)^{m_i+1} + \cdots$ mediante la expansión de Taylor, para algunos $m_i$ ( $a_{m_i} \neq 0$ ). Queremos $\sum m_i=n$ . Por ejemplo, podemos suponer que $y_i=y=0$ . Tenemos que $$a_{m_i} z^{m_i} + a_{m_i+1} z^{m_i+1} + \cdots = g(z)^{m_i}$$ para alguna holomorfía $g$ que es un homeomorfismo entre vecindades abiertas de $0$ . Sustitución de $f(z)$ por $(f \circ g^{-1}) (z) = z^{m_i}$ no cambia el número de preimágenes. Así que las fibras tienen cardinalidad $\sum m_i$ en un barrio de $y$ , incluyendo en $y$ . Comparando esto con cualquier punto diferente de $y$ en ese barrio, concluimos que $\sum m_i=n$ .