Resolviendo un conjunto de relaciones de recurrencia:

Question

Resolviendo un conjunto de relaciones de recurrencia:

$a_n=3b_{n-1} , b_n=a_{n-1}-2b_{n-1}$

Además, se sabe que:$a_1=2, b_1=1$.

Así que empecé aislando$b_n \to b_n=3b_{n-2}-2b_{n-1}$

Entonces obtengo la ecuación actual:$x^2+2x-3=0 \to(x+3)(x-1)=0$, que significa$b(n)=A_1+A_2(-3)^n$

¿Y ahora qué? Encontré una ecuación con 2 parámetros pero solo 1 relaciona b:$b_1=1$.

¿Puedo usar$a_1=2$ también en la ecuación encontrada?

Answer 1

Sugerencia: Puedes calcular$b_2$ directamente .

Answer 2

Defina las funciones de generación$A(z) = \sum_{n \ge 0} a_{n + 1} z^n$ y similarmente$B(z)$. Escriba sus recurrencias como: $$ \begin{align*} a_{n + 1} &= 3 b_n \\ b_{n + 1} &= a_n - 2 b_n \end {align *} $$ Por las propiedades de las funciones generadoras, sus recurrencias se traducen a: $$ \begin{align*} \frac{A(z) - a_1}{z} &= 3 B(z) \\ \frac{B(z) - b_1}{z} &= A(z) - 2 B(z) \end {align *} $$ Así: $$ \begin{align*} A(z) &= \frac{2 + 7 z}{1 + 2 z - 3 z^2} = \frac{9}{4} \frac{1}{1 - z} - \frac{1}{4} \frac{1}{1 + 3 z} \\ B(z) &= \frac{1 + 2 z}{1 + 2 z - 3 z^2} = \frac{3}{4} \frac{1}{1 - z} + \frac{1}{4} \frac{1}{1 + 3 z} \end {align *} $$ Todo a la vista es una serie geométrica: $$ \begin{align*} a_{n + 1} &= \frac{9}{4} - \frac{1}{4} (-3)^n \\ b_{b + 1} &= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} (-3)^n \end {align *} $$

Answer 3

Lo estas haciendo bien. Tienes

PS

Ahora, para determinar$$ b(n)=A_1+A_2(-3)^n. $ y$A_1$, necesita dos condiciones iniciales$A_2$ y$b_1$. Ya tienes uno que es$b_2$. Para encontrar$b_1$ usa la segunda ecuación

PS

Ahora puedes avanzar.