Cuántos función real hay?

Question

Hay más números en la $\mathbb{R}$ que $\mathbb{N}$. Hay muchos vectores en $\mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}$ como números en $\mathbb{R}$.

Cuántas funciones reales hay? Si me denotar $\{f,f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ tengo otra muy.. muy grande, infinita, la multitud innumerable, ¿verdad?

Es $|\mathbb{R}^\mathbb{R}| > |\mathbb{R}|$?.. otro de los innumerables infinito más allá de la continuidad?

¿Qué acerca de la $\left|(\mathbb{R}^\mathbb{R})^{(\mathbb{R}^\mathbb{R})}\right|$, entonces? ¿Hasta dónde podemos construir grandes conjuntos en esta dirección?
Es el número de diferentes infinitos sí contables? $\left\{|\mathbb{N}|,|\mathbb{R}|,|\mathbb{R}^\mathbb{R}|,\left|(\mathbb{R}^\mathbb{R})^{(\mathbb{R}^\mathbb{R})}\right|,\dots\right\}$ sería, ¿verdad?

O quizás $|\mathbb{R}^\mathbb{R}| = |\mathbb{R}|$ y caemos de nuevo en nuestros pies?

Answer 1

El conjunto $S$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tiene la misma cardinalidad como el juego de poder de $\mathbb{R}$.

Paso 1: Asociar a cada función en $S$ de su gráfica en $\mathbb{R}^2$. Este gráfico puede ser considerado como un subconjunto de $\mathbb{R}^2$. Y no hay dos funciones en $S$ tiene la misma gráfica. Por lo que la cardinalidad de $S$ no es mayor que la cardinalidad de el juego de poder de $\mathbb{R}^2$ que tiene la misma cardinalidad como el juego de poder de $\mathbb{R}$. Por lo que la cardinalidad de $S$ no es mayor que la cardinalidad de el juego de poder de $\mathbb{R}$.

Paso 2: Deje $A$ el conjunto de los subconjuntos de $\mathbb{R}$ que incluyen el elemento $0$. Por lo $A$ tiene la misma cardinalidad como el juego de poder de $\mathbb{R}$. Para cada elemento $K$ de % de$A$, podemos encontrar una función en $S$ cuyo rango es de $K$ (es decir, asumir la función de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que envía cada elemento de $K$ a sí mismo y cada nonelement de $K$ a $0$). Esto le da una asignación de $S$ a $A$ que es sobre. Por lo que la cardinalidad de $S$ es al menos tan grande como la cardinalidad de $A$ que es igual a la cardinalidad del juego de poder de $\mathbb{R}$.