¿Existe un espacio métrico compacto $X$ contiene countably infinitamente muchos clopen subconjuntos?

Question

A partir de este Clopen subconjuntos de un espacio métrico compacto sabemos que cualquier espacio métrico compacto $X$ contiene en la mayoría de los countably muchos clopen subconjuntos ; mi pregunta es : ¿existe un espacio métrico compacto $X$ contiene countably infinitamente muchos clopen subconjuntos ?

Answer 1

Considerar el subconjunto de $\mathbb R$ $$\{ \frac{1}{n} | n\in \mathbb N^*\} \cup \{0\}\;$$ which inherits a metric structure from the standard metric of $\mathbb R$. The sets $\{1/n\}$ son countably infinitamente muchos clopen subconjuntos.

Answer 2

El conjunto de Cantor es un ejemplo de un espacio de este tipo.