Si $3^x +3^y +3^z=9^{13}$.Encuentra el valor de $x+y+z$

Question

Problema: Si $3^x +3^y +3^z=9^{13}$.Encuentra el valor de $x+y+z$.

Solución: $3^x +3^y +3^z=9^{13}$

$3^x +3^y +3^z=3^{26}$

Soy incapaz de seguir desde aquí.

Cualquier ayuda es apreciada.

Editado

$9^{13} =3^{26}$

$=3^{25} (3)$

$=3^{25} (1+1+1)$

$=3^{25} + 3^{25} + 3^{25}$

Por lo $x+y+z =75$

Answer 1

Suponga $x\geq y \geq z$. A continuación, $$ 3^{26}=9^{13}=3^x+3^y+3^z\leq 3(3^x)=3^{x+1} $$ y por lo $x\geq 25$. Obviamente, $x<26$, por lo que debemos tener $x=25$. Pero, a continuación, $$ 2\times 3^{25}=3^{26}-3^x=3^y+3^z\leq 3^x+3^x=2\times 3^{25}. $$ Debe ser el caso de que $y=x$ e $z=x$. Llegamos a la conclusión de que $x=y=z=25$ y su suma es $75$.

Answer 2

Usted puede hacer esto si $x,y,z$ son enteros, de lo contrario hay infinitamente muchas soluciones.

Primero supongamos que $x \geq y \geq z$, esto es posible debido a la simetría.

Supongamos que $x \geq 26$,, a continuación, $3^x\geq3^{26}$ y, por tanto,$3^x+3^y+3^z>3^{26}$. Por lo tanto $x \leq 25$.

Si $z \leq 24$,, a continuación, $3^x+3^y+3^z \leq 3^{25}+3^{25}+3^{24}<3^{26}$ por lo tanto $z\geq 25$. Por lo tanto $x=y=z=25$ e $x+y+z=75$.

Answer 3

Deje $x\ge y\ge z$. Entonces $$3^x +3^y +3^z=3^{26}$$ $$3^z(3^{x-z}+3^{y-z}+1)=3^{z}\cdot3^{26-z}$$ $$3^{x-z}+3^{y-z}+1=3^{26-z} \Leftrightarrow x=z=y=25$$

Answer 4

Si $x=y=z$, entonces claramente $x=y=z=25$ obras.

De lo contrario, esto es ternario, el número con la suma de los dígitos $3$. Pero la única representación de este número ternario es

$$1\underbrace{0 \ldots 0}_{26 \text{ times}}$$

que tiene una suma de dígitos como $1$.