Eckmann-Hilton argumento

Question

El Eckmann-Hilton argumento es utilizado para demostrar que un doble monoidal 0-se trata de una categoría conmutativa monoid. Si (x) es horizontal y composición . es la composición vertical, y suponiendo que 1(x)a=a=a(x)1,

a(x)b=(1.a)(x)(b.1)=(1(x)b).(una(x)1)=b.a=(b(x)1).(1(x, a)=(b.1)(x)(1.a)=b(x)una

lo que demuestra, en primer lugar que los dos tipos de multiplicaciones son los mismos y segundo que ellos son conmutativas. En una débil 2-categoría, horizontal composición de 2-células sólo es unital hasta la conjugación de algunos invertible 2-células (el unitors). Mi pregunta es ¿cómo hace uno para probar la hipótesis, que en horizontal composición es estrictamente unital, en esta situación?

Answer 1

De hecho, hay tres operaciones binarias en juego aquí. Hay composición vertical . y horizontal de la composición * (o "(x)"), como usted dice. Pero luego también hay la operación @, de la siguiente manera.

Su "un" y "b" aquí están 2-las células de un doblemente degenerados débil de 2 categoría. Vamos a llamar a su único 0-celular x; a continuación, un y b son 2 las células de 1_x 1_x. Parte de la estructura de la débil 2-se trata de una categoría coherencia isomorfismo lambda: 1_x o 1_x --> 1_x. Así, dado un y b, podemos formar la vertical compuesto

un @ b = (lambda . (un * b) . lambda^{-1}).

Ahora, 1_1x es una unidad para ambos . y @, y que reúnan el intercambio de ley, por lo que el Eckmann-Hilton argumento se aplica a decirle eso . y @ son iguales y conmutativa. De ello se desprende que * = @. Es entonces sigue que, horizontal composición * es estrictamente unital, según sea necesario.