Realiza las siguientes series convergen? $$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}_{n \text{ th}}}\ $$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia. Uno puede demostrar por inducción que
$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}_{n \text{ th}}=2 \cos \left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right).\tag1 $$ Observar que, para $\alpha \in \left[0,\frac{\pi}2\right]$, uno tiene $$ \sqrt{2-2\cos\alpha}=2\sin\frac\2,\quad \tag2 $$ and that, as $n \to \infty$, $$ \sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}_{n \text{ th}}} =\sqrt{2\left(1-\cos \left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right) \right)} =2\sin \left(\frac{\pi}{2^{n+2}}\right) \sim \frac{\pi}{2^{n+1}} $$ where we have used, as $x \to 0$, $\displaystyle \sin x \sim x$, por lo tanto inicial de la serie es convergente por la prueba de comparación.
Driss Alami Louati
Puntos
39
Ponemos a $x_n=\underset{n \hbox{ terms}} {\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}}$ e $y_n=\sqrt{2-x_n}$.
La observación de que $(x_n)$ aumenta y satisface \begin{equation}\label{1} x_{n+1}=\sqrt{2+x_n},\forall n\in\mathbb{N}. (*) \end{equation}
Así, uno puede demostrar por inducción que $$x_n\leq 2.$$
De ello se desprende que $(x_n)$ converge y su límite de $l$ satisface $l=\sqrt{2+l}$.
Por lo tanto $$\lim_{n\to+\infty}x_n=2 \mbox{ and }\lim_{n\to+\infty}y_n=0.$$
Por otra parte, de (*) se deduce que para todos los $n$ $$y_{n+1}=\sqrt{2-x_{n+1}}=\frac{\sqrt{2-x_n}}{\sqrt{2+\sqrt{2+x_n}}}\leq \frac{y_n}{\sqrt{2}} $$
A continuación, la serie de $\sum y_n$ converge.
