¿Qué estoy haciendo mal? Gram Schmidt proceso..

Question

El producto interior de todos los polinomios de grado menor o igual a 2: $\langle f,g\rangle=\int_0^1f(x)g(x)xdx$. Encontrar ortonormales base.

Así que de verdad lo intenté durante una hora y prácticamente se convirtió en molesto, como yo no puedo decir cuál es mi error. Deje $E=\{1,x,x^2\}$ ser el estándar de la base.

$u_1=1$

$u_2=x-\langle x,1\rangle1=x-\int_0^1x\cdot1\cdot x dx=x-\int_0^1x^2dx=x-\frac{1}{3}$

También hay $u_3$ pero digamos que puedo encontrar con éxito. Permite encontrar la normal de $u_1$ e $u_2$:

$\|u_1\|=\sqrt{\int_0^11\cdot1 \cdot x dx}=\sqrt{\int_0^1x dx}=\sqrt{\frac{1}{2}} \rightarrow \hat u_1=\sqrt2$

$\|u_2\|=\sqrt{\int_0^1(x-\frac{1}{3})^2\cdot x dx}=\sqrt{\frac{1}{12}} \rightarrow \hat u_2=\sqrt{12}(x-\frac{1}{3})$

Pero $\langle u_1,u_2\rangle=\int_0^1\sqrt2 \cdot \sqrt{12}(x-\frac{1}{3})\cdot x dx \neq 0$.

¿Cuál es mi error?

Gracias de antemano!

Answer 1

Creo que tu error es cuando se pone

$$ u_2 = x - \langle x , 1 \rangle \cdot 1 \ . $$

Usted realmente tiene que el segundo vector es algo así como

$$ u_2 = v_2 + \lambda v_1 \ , $$

donde $v_1, v_2$ son los primeros vectores de la base original. Ahora quiere sustituir por $u_1, u_2$ ser ortogonales. Así que usted establezca $u_1 = v_1$ e imponer

$$ 0 = \langle u_1, u_2\rangle = \langle v_1, v_2 + \lambda v_1\rangle = \langle v_1, v_2\rangle + \lambda \langle v_1, v_1\rangle \ . $$

Lo que implica que se debe tomar

$$ \lambda = - \frac{\langle v_1, v_2 \rangle}{\langle v_1, v_1 \rangle} \ . $$

Es decir,

$$ u_2 = x - \frac{\langle 1, x \rangle}{\langle 1, 1 \rangle} \cdot 1 \ . $$

sería mejor.

Answer 2

Creo que usted necesita para definir $u_2$ como x-sqrt(2) o algo entonces normalizar $u_2$. Usted sólo quiere restar el componente de x a lo largo de $u_1$ a partir de x, pero usted está haciendo más de esto porque $u_1$ no tiene longitud 1.