Qué conjunto no puede ser la imagen de $(0,1]$ bajo una función continua y por qué .

Question

Dejemos que $f :\mathbb R \rightarrow\mathbb R$ sea una función continua . Entonces que no puede ser la imagen de $(0,1]$ ?

A. $\{0\}$

B. $(0,1)$

C. $[0,1)$

D. $[0,1]$

Ahora A. es el mapa constante. C. es el mapa $f(x)=1-x$ . Pequeña confusión sobre B. y D. Si es que $(0,1)$ está integrado en $(0,1]$ por lo que B. no puede ser la respuesta entonces de forma similar $(0,1]$ está integrado en $[0,1]$ por lo que D. tampoco es la respuesta . Todas las respuestas incorrectas no son una posibilidad. ¿Qué me he perdido aquí?

Answer 1

Opción $A$ $\rightarrow $ $\mathcal constant \ \ function$

Opción $C$ $\rightarrow$ $f(x)=1-x$

Opción $D$ $\rightarrow$ $f(x)=|2x-1|$

El imposible es la opción $B$ . Aquí hay dos explicaciones diferentes :

$1)$ Si es posible, supongamos que $f((0,1])=(0,1).$ Así, en $(0,1)$ podemos encontrar dos secuencias( Como esto no es compacto ) que no convergen en $(0,1)$ . Diga $$w_n\rightarrow 0$$ y $$z_n\rightarrow 1$$ . Desde , $(0,1)$ es la imagen de $(0,1]$ en $f$ podemos escribir $$w_n=f(x_n)$$ y $$z_n=f(y_n).$$ Para dos secuencias $x_n$ y $y_n$ en $(0,1].$ Si ambos $x_n$ y $y_n$ tienen subsecuencias convergentes en $(0,1]$ entonces por continuidad de $f$ , $f(x_n)=w_n$ y $f(y_n)=z_n$ ambos tienen subsecuencias convergentes y finalmente convergen en $f((0,1]=(0,1)$ lo que no es el caso. Pero en $(0,1]$ la única posibilidad de que una secuencia no tenga una subsecuencia convergente es que , converja a $0$ . Así nos aseguramos de que :

Por Teorema de Bolzano-Weierstrass sabemos que Toda secuencia acotada tiene una subsecuencia convergente ( En la finalización del subespacio de $\mathbb R$ en consideración ). Así que cada secuencia en $(0,1)$ tiene una subsecuencia convergente en $\bar{(0,1]}=[0,1].$ El único punto límite de $(0,1)$ que no es en $(0,1]$ es $0$ . Por lo tanto, tanto $x_n$ y $y_n$ debe tener $0$ como su límite para no converger en $(0,1].$

Pero entonces $$\lim_n x_n=0=\lim_n y_n\\i.e.\ \ \lim_n f(x_n)=f(0)=\lim_n f(y_n)\\ i.e.\ \ 0=f(0)=1$$ lo cual es totalmente absurdo . Así que, $$f((0,1])\neq (0,1)$$ . Probado.

$2)$ Podemos escribir $$[0,1]=\{0\}\cup (0,1].$$ NOw para la compacidad , $$f([0,1])=C$$ para algunos conectado, compacto set $C$ . Ahora , $$C=f([0,1])=f(\{0\})\cup f((0,1]).$$ Depende de si $f$ es inyectiva o no , $$f((0,1])=C\backslash \{y\}\\or,\ \ f((0,1])=C.$$ Así, para $B)$ para que sea cierto, necesitamos $$(0,1)=C\backslash \{y\} \ or\ C$$ pero $(0,1)$ no es de esa forma . Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción de nuevo. Así que $B)$ no es cierto. Probado.

Answer 2

La forma más fácil de ver que B es imposible es que si $f:R\to R$ es continua, entonces $f$ restringido al dominio $[0,1]$ es continua. La imagen continua de un espacio compacto es compacta. El caso B requeriría que $S=\{f(0)\}\cup f (0,1]=\{f(0)\}\cup (0,1)$ es compacto. Pero $S\in\{(0,1),[0,1),(0,1]\}$ así que $S$ no es compacto.

Answer 3

B. $(1+\cos^2 (1/x))/(2+x)$ hará esto. (Oops, esto es incorrecto porque $f$ debía ser continua en $\mathbb R ;$ ver más abajo).

D. $4(1-x^2)$ lo hará.

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Se me indicó que estas funciones deben ser continuas en $\mathbb R.$ Entonces B. es imposible: Tenemos $f([0,1]) = f(\{0\})\cup (0,1).$ Pero $f([0,1])$ es compacto, y $f(\{0\})\cup (0,1)$ es $(0,1),[0,1),$ ou $(0,1]$ - ninguno de los cuales es compacto.