¿Por qué puedo multiplicar ambos lados por $dx$ ?

Question

Cuando empezamos a aprender sobre ecuaciones diferenciales a veces "multiplicamos" ambos lados de la ecuación por una diferencial y luego integramos.

Ejemplo: $\frac{dy}{dx}=x$ entonces $dy=x*dx$ y así sucesivamente.

Siempre he pensado que es un "atajo" ya que multiplicar por un diferencial no tiene mucho sentido para mí. Pero, ¿por qué funciona? ¿Qué estamos haciendo realmente?

EDITAR:

Voy a aclarar un poco más. Mi pregunta concreta es: ¿Por qué podemos tratar los diferenciales como números reales?

Answer 1

$x$ y $y$ pueden considerarse como funciones de algún parámetro independiente $t$ . La regla de la cadena nos dice que, $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$ ,

Así que cuando vemos

$$ dy/dx = x $$

podemos escribir

$$ dy/dt = x dx/dt$$

entonces, por supuesto, podemos integrar ambas expresiones con respecto a $t$

$$ \int \frac{dy}{dt} dt = \int x \frac{dx}{dt} dt$$

entonces la integración puede realizarse mediante un cambio de variable.

Así que cuando escribimos esos diferenciales solitarios en realidad estamos ignorando el parámetro porque es completamente redundante para los resultados finales. Hay algunas dificultades que hay que evitar, por ejemplo $y(t)$ y $x(t)$ debe ser siempre monótona, pero estos detalles no cambian la idea principal.