Confundido acerca de un buen orden lema

Question

Se me ocurrió para toparse con el siguiente lema en Kenneth Kunen de la teoría de conjuntos libro:

$\textbf{Lemma:}$ Vamos $\langle$ $A,R$ $\rangle$ ser un bien de pedidos. A continuación, para todos $x \in A$, $\langle$ $A,R$ $\rangle$ no es isomorfo a $\hspace {15mm}$ $\langle$ pred$(A,x,R),R$ $\rangle$.

Donde $A$ es un conjunto, $R$ es un estricto orden total en $A$, y pred$(A,x,R)$ = { $y \in A: yRx$ } donde $x \in A$.

Pero entonces, ¿qué si nos vamos a $A=\mathbb{N}$, $R$ ser la norma más que la relación > y $x=0$?

$A$ sería el conjunto de $\{0,1,2......\}$

pred$(A,x,R)$ sería el conjunto de $\{1,2,3......\}$

Estoy bastante de que para ambos conjuntos, > sigue un estricto orden total y cada subconjunto tiene al menos un elemento en virtud de esta orden. Así que no establece un isomorfismo $f: A \rightarrow$ pred$(A,0,R)$ donde $f(x)=x+1$?

Lo siento si se me ocurre para ser increíblemente estúpido ahora mismo pero no puedo irregular de mi error.

Answer 1

No, el conjunto de predecesores son los "más pequeños" de $x$. Así, en el caso de $\Bbb N$ e $x=1$ esto es sólo $\{0\}$. Para $x=0$ es $\varnothing$. Tampoco es isomorfo a $\Bbb N$ sí.

Si se invierte el orden, entonces no es un buen orden, ya que no hay el mínimo elemento.