¿Cuándo es apropiado resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

Question

Actualmente estoy estudiando a Griffiths durante el verano, pero estoy un poco confundido por un punto y no tengo ningún instructor para preguntar, así que me preguntaba si podría ayudar a aclarar. En la sección 2.3, el oscilador armónico, escribe: "basta con resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo".

Evidentemente, esto no es suficiente en todos los casos. Me preguntaba cómo sabemos a priori que

1. es suficiente y

2. no estamos perdiendo alguna información al resolver sólo el caso independiente del tiempo.

Answer 1

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no es más que la separación de variables que actúa sobre la "verdadera" ecuación de Schrödinger. Los valores propios (las constantes de separación) de dicha ecuación resulta que representan la energía de nuestro sistema cuántico. Por lo tanto, si nuestro interés se centra únicamente en los estados disponibles y accesibles de nuestro sistema, la versión independiente del tiempo es perfecta. Sin embargo, si buscamos modelar la evolución temporal del sistema, entonces necesitamos evocar la parte temporal de la ecuación de Schrödinger.

Si nuestra ecuación independiente del tiempo tiene soluciones normalizadas $\psi_1(x), \psi_2(x),\dots$ con $\int_{-\infty}^\infty\psi^*_m(x)\psi_n(x)=\delta_{mn},$ entonces escribimos

$$H\psi_n(x)=E_n\psi_n(x),$$

Dónde $H$ es el hamiltoniano y $E_n$ son las energías correspondientes.

La ecuación dependiente del tiempo es

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,x)=H\Psi(t,x).$$

Así, podemos escribir nuestro estado cuántico dependiente del tiempo en términos de una superposición de los estados independientes:

$$\Psi(t,x)=\sum\limits_n^{}A_n\psi_n(x)e^{iE_nt},$$

donde el $A_n$ son un conjunto normalizado de constantes, $\sum_n|A_n|^2=1$ .

Answer 2

Si usted puede resolver el caso independiente del tiempo, siempre es suficiente, ya que la evolución temporal de un estado estacionario es simplemente $\psi_n(t)=e^{i\omega t}\psi_n(0)$ y cualquier estado puede escribirse como una superposición de estados estacionarios.

Puedes estar seguro de que no te falta nada porque cada operador autoadjunto $^1$ (como el Hamiltoniano) tiene una base ortonormal completa de vectores propios. Esto se llama el teorema espectral.

Por otro lado, la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es intratable en todos los casos, salvo en los más sencillos, por lo que hay que recurrir a aproximaciones en la mayoría de los casos. Esto implica a menudo la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

$^1$ Hay algunos detalles complicados aquí para un operador autoadjunto completamente general, pero realmente no hacen una diferencia desde el punto de vista del físico.

Answer 3

La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo es la ecuación de valores propios para el operador hamiltoniano, por lo que te da los estados con hamiltoniano definido, que por el tiempo dependiente La ecuación de Schrodinger es la misma que la de la energía definida, ya que lo que está en el lado derecho de la ecuación de Schrodinger es el operador de energía. En particular, la ecuación dependiente del tiempo es:

$$\hat{H} \psi = \hat{E} \psi$$

y el tiempo- independiente la ecuación es

$$\hat{H} \psi = E \psi$$

donde ahora $E$ es una constante, pero antes era un operador. El operador $\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ es el generador de traducción temporal en el mismo sentido que el operador de momento $\hat{p}$ es el generador de traslación espacial (asociado al famoso teorema de Noether de que la energía es la cantidad conservada asociada a la simetría de la traslación temporal, como el momento está igualmente asociado a la traslación espacial. Obsérvese también que ambas tienen efectivamente la misma forma - por ejemplo, en una dimensión $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ .). La primera ecuación te dice que para una solución físicamente válida, actuar sobre la función de onda con el operador hamiltoniano tendrá el mismo resultado que el operador de energía, y por tanto sus valores propios serían los mismos que si pudiéramos resolver la "legendaria" y metafórica ecuación de valores propios $\hat{E}\psi = E\psi$ (lo que no podemos, porque produce basura y no hay término para la estructura del sistema), pero $\hat{H}$ establece la estructura del sistema, por lo que éste es realmente útil, y para llevar el mismo significado físico que ser un generador de traducción de tiempo para real y por lo tanto un operador de energía también - y por lo tanto la resolución de la ecuación independiente del tiempo le permite obtener los niveles de energía y los estados de energía definida: eigenstates de energía.

Sin embargo, una vez que haces eso, en realidad has resuelto la primera ecuación, porque estas formarán una base para el espacio de estados y así puedes representar cualquier solución como una combinación lineal (posiblemente infinita, posiblemente incluso integral) de estas, que la primera ecuación evolucionaría como si cada componente evolucionara por separado, y la evolución de un único eigenestado de energía hacia adelante en el tiempo es trivial (sólo tiene una exponencial compleja por delante en el tiempo).