Encontrar el volumen de un tetraedro por vértices dados.

Question

Por favor, ayúdame con el problema de abajo.

Encuentra el volumen de un tetraedro con vértices: $O(0,0,0)$ , $A(1,2,3)$ , $B(-2,1,5)$ , $C(3,7,1)$ usando la triple integral.

Pista: Primero encuentra las ecuaciones de los aviones.

Nota: Mi profesor me dijo que puedo usar el cambio de variables (que necesito para calcular el jacobiano y luego el volumen de un tetraedro "más simple").

Answer 1

Sólo para convertir mi comentario en una respuesta.

Si quieres usar la integral triple para encontrar el volumen Hay dos maneras de hacerlo.

Primer método: Integral triple directa. Hay que encontrar las ecuaciones del plano para todas las caras de este tetraedro. Debido a la naturaleza a trozos, los límites de la integral son algo desordenados.

Segundo método: Podemos transformar los puntos $A(1,2,3)$ , $B(-2,1,5)$ , $C(3,7,1)$ a $A'(1,0,0)$ , $B'(0,1,0)$ , $C'(0,0,1)$ . Así, el volumen del nuevo tetraedro es fácil de calcular. La matriz de transformación de $A',B',C'$ a $A,B,C$ es: $$T = \begin{pmatrix} 1&-2 &3 \\ 2 &1 &7 \\ 3 &5 &1\end{pmatrix} .$$ Debido a la linealidad esta es también la matriz jacobiana, por lo que $$\mathrm{Volume} = \iiint_{OABC} 1 \,dxdydz = \iiint_{OA'B'C'} 1 \,{|\det (T)|}\,dx'dy'dz' = \frac{17}{2}.$$

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Otro consejo con una fórmula para calcular $n$ -Simplex, lo tomé de mis apuntes de geometría computacional: $$|V| = \frac{1}{3!}\left|\det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4\\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix} \right|,$$ donde $(x_i,y_i,z_i)$ son las coordenadas del $i$ - vértice. La misma forma para la fórmula del área de un triángulo con tres vértices da $$|T| = \frac{1}{2!}\left|\det \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \right|.$$