Encontrar un anillo $R$ y dos elementos $a,b$ de $R$ para que $ab=1$ y $ba≠1$ .

Question

Me alegraría mucho que alguien tuviera una idea porque yo no tengo ni idea.

Answer 1

Dejemos que $R$ sea el anillo de endomorfismos de $Z=\{(z_n):\ z_n\in\mathbb Z,\ \forall n\}$ . Definir $$a(z_1,z_2,\ldots)=(z_2,z_3,\ldots)$$ y $$b(z_1,z_2,\ldots)=(0,z_1,z_2,\ldots).$$ Entonces $ab=1$ pero $$ba(z_1,z_2,\ldots)=(0,z_2,z_3,\ldots)$$ así que $ba\ne 1$ .

Por supuesto que no necesitas $\mathbb Z$ para construir el anillo subyacente; las secuencias sobre cualquier anillo servirían.

Answer 2

He aquí un ejemplo clásico que puede utilizarse en muchas situaciones:

Dejemos que $S$ sea el espacio de secuencias de números reales. Sea $R$ sea el espacio de las funciones lineales de $S$ a $S$ . Esto es un anillo. Entonces dejamos que $a$ y $b$ sean dos operadores de turno:

$a$ toma una secuencia y añade un cero al principio. $b$ elimina el primer elemento de la secuencia, reindexando para que todo venga un índice antes.

Entonces tenemos $ab=1$ pero $ba\ne 1$ .

Answer 3

Si esto es posible, lo siguiente es un ejemplo.

• Dejemos que $S$ ser el anillo libre $\mathbb{Z}\langle x, y \rangle$ generado por dos elementos.
• Dejemos que $I$ sea el ideal de dos caras generado por $xy - 1$ .
• Dejemos que $R = S/I$
• Dejemos que $a = x + I$
• Dejemos que $b = y + I$

Esta es la universal ejemplo en el siguiente sentido: dado cualquier otro triple $(R', a', b')$ que también tiene esta propiedad, existe un único homomorfismo de anillo $\varphi : R \to R'$ con la propiedad de que $a' = \varphi(a)$ y $b' = \varphi(b)$ .

Podemos comprobar directamente que $ba \neq 1$ De hecho, afirmo que el grupo aditivo de $R$ es un grupo abeliano libre generado por los monomios $b^m a^n$ donde $m,n$ rango sobre todos los números naturales.

Hay varias maneras de demostrar este hecho. Creo que la forma en que yo lo haría es demostrar que $R$ es (isomorfo a) el anillo monoide $\mathbb{Z}[M]$ , donde $M$ es el monoide presentado por $M = \langle a,b \mid ab=1 \rangle$ y comprobar que los elementos de $M$ son precisamente las palabras $b^m a^n$ .