Es una matriz de más de un PID similar a su transpuesta?

Question

Decimos que dos matrices $A,\,B\in M_n(R)$ son semejantes si existe alguna matriz invertible $P$ tal que $P^{-1}AP=B$. Ahora, si $R$ era un campo (o, sin duda, un algebraicamente cerrado de campo), a continuación, es muy sencillo para mostrar $A,\,A^T$ son similares. Simplemente utilice el Jordán formulario. Me pregunto si este resultado también se mantiene fiel a lo largo de más general de los anillos, dicen que un PID. Como en la posición de partida, yo estaba pensando de mirar por encima de $\mathbb{Z}$ y tal vez usando el Smith Forma Normal de alguna manera.

Answer 1

No, no lo es!

La matriz $A=\pmatrix{8&2\\0&1}$ no es similar en la $\mathbb Z$ a su transpuesta.