Cuando digo funciones, no me refiero a las funciones trigonométricas como $\sin$, $\cos$, y $\tan$, me refiero a las funciones definidas como $f(x) = 2x + 4$. ¿Por qué es $f(x)$ utiliza y por qué no una sola variable se define como el ser igual a $2x + 4$? Por ejemplo, $n = 2x + 4$ donde $x$ está definido en otro lugar, decir como $5$, de la misma manera que te gustaría definir $x$ en la función 5: $f(5)$. Quiero decir ¿cuál es la diferencia entre estos dos métodos que se utilizan las funciones en todos los?
Respuestas
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El más básico beneficio de tener un concepto de función es que nos permite utilizar la misma función más de una vez en una expresión con diferentes valores de los parámetros.
Por ejemplo, se podría trabajar con dos variables: $x$ es el número de días transcurridos desde el año nuevo, y $y$ es el número de preguntas en las Matemáticas.SE. Supongamos que queremos averiguar el número promedio de nuevas preguntas por día en febrero. No sabemos los valores reales todavía (febrero no ha terminado), pero lo que se puede aspirar a escribir una fórmula que nos dice qué hacer una vez que tenemos los números. A continuación, tenemos que restar el número de preguntas que el 1 de febrero en el número de preguntas en el 1 de Marzo y se divide cuántos días entró en el medio. Sin embargo, los dos números de las preguntas son tanto los valores de $y$, por lo que si todos tenemos el desnudo de variables nos encontramos con algo $\frac{y-y}{29}$ que es una tontería (o más precisamente, no hacer que el sentido nos gustaría a).
Sin embargo, si definimos una función de $f$ por "$f(x)$ significa que la $y$ correspondiente al día $x$", podemos escribir el promedio como $\frac{f(60)-f(31)}{29}$, lo que nos dice de forma inequívoca qué hacer.
Alternativamente, podríamos inventar algún tipo de notación para el uso de diferentes "instancias" de la misma variable en una fórmula, algo como $\frac{y_{x=60}-y_{x=31}}{29}$ -, pero una vez que termines de hacer que la precisión suficiente para satisfacer las demandas de ser exacta y útil en las pruebas, nos encontraríamos con que nos esencialmente había reinventado el concepto de función.
Más beneficios. Ahora que tenemos un concepto de función, se puede utilizar para reconocer similitudes. Si tenemos cuatro variables $x$, $y$, $z$, $w$, y resulta que de alguna manera que hay una función de $f$ tal que $y=f(x)$ e $z=f(w)$ para todos los valores correspondientes de las cuatro variables, esto nos dice una cosa interesante acerca de las variables, es decir, que la relación entre el $x$ e $y$ es la misma que la relación entre el $w$ e $z$. Tales observaciones pueden a veces nos permiten hacer mucho más rápido conclusiones que, si no teníamos una manera de hablar/pensar la comunidad.
También, una vez que estamos acostumbrados a pensar en funciones como cosas en sí mismas, resulta ser enormemente beneficioso para expresar pensamientos matemáticos que podamos nombre de las funciones, y definir los adjetivos para que las propiedades de una función puede tener o no tener. Ya que las matemáticas pueden ser muy complejo, cada truco que nos permite hablar de ella, más corto y más claro es que vale la pena aprovechar.
Silver Gun
Puntos
25
Las funciones son una de las herramientas más básicas en matemáticas. Hay propiedades importantes de las funciones que son estudiados, tales como la inyectividad/surjectivity, la continuidad, la diferenciabilidad, integrabilidad, convexidad, analiticidad, y me estoy saltando un mil más...
Cuando se hace relativamente útil matemáticas por encima del nivel de los comunes del ser humano, las funciones convertido en una herramienta esencial.
Otra razón por la que uno podría definir una función es porque hay una diferencia entre la definición de $y = |x|$ e $f : [0,1] \to \mathbb R$ con $f(x) = |x|$. En el primer caso, yo no sé nada de donde no $x$ proviene ; en el segundo caso, puedo decir que $f$ es diferenciable, aunque en general no podemos decir que $|x|$ es diferenciable en todas partes. Mi punto es que la definición de la función nos dice más acerca de sus propiedades, donde la definición de una variable igual a lo que "queremos que la función de ser valorado" no nos dice la información.
EDIT : Uno de los comentarios me quiero presentar cómo podemos definir una función ; supongamos que queremos $f(x) = 2x+4$. No es suficiente en matemáticas para escribir una de esas fórmulas ; $x$ podría venir de cualquier anillo por mi parte, lo único que tenemos aquí es una multiplicación y la adición de la operación de esta función para hacer sentido de algunos de $A$ otra $B$ : a priori, cualquier conjunto $A$ e $B$ tal que $f : A \to B$ con $f(x) = 2x+4$ donde $2, 4 \in B$ que tiene sentido es una bien definida la función.
Es por eso que los matemáticos necesario especificar donde no $x$ provienen y donde ir. Esto es exactamente lo que hacemos cuando decimos $f : A \to B$, es decir, $x$ es de $A$ e $f(x)$ es de $B$ ; también se dice que $f$ mapas de $x$ a $f(x)$. Aquí el dominio de $f$ sería el conjunto de $A$ y la imagen de $f$ sería el conjunto de $B$. Mi ejemplo anterior, dice que el $x$ proviene del intervalo de $[0,1]$ y obtiene asignada en los números reales. El dominio no es la única parte importante : la imagen también es importante. Por ejemplo, $f(x) = x$ es inyectiva si puedo decir $f : [0,1] \to \mathbb R$, pero también es bijective si puedo decir $g : [0,1] \to [0,1]$ con $g(x) = x$. En ambos casos me dice $f(x) = x$ e $g(x) = x$, pero $f$ e $g$ son funciones diferentes, ya que no tienen la misma imagen ; además, uno es surjective, el otro no lo es.
Espero que ayude,
