¿Alguien puede explicarme (heurísticamente, intuitivamente es fino) la importancia de la Weil conjeturas es? Me doy cuenta que gran parte de la geometría algebraica recientes han motivado. Realmente no entiendo por qué o lo que uno debe hacer con ellos, ahora que se han demostrado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una muy increíble cosa acerca de las Conjeturas de Weil es lo que dicen acerca de la geometría de una superficie lisa, variedad proyectiva $X$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$ (por ejemplo); parte de la geometría de $X$ como un complejo colector puede ser calculado por el conteo de puntos en $X$ modulo $p$ para algunos (adecuado) prime. Específicamente, las Conjeturas de Weil permiten calcular los números de Betti (dimensiones de los espacios vectoriales que viene de cohomology) de $X/\mathbb{C}$ mediante el cálculo de la función Zeta de $X/\mathbb{F}_p$. Esta función Zeta tiene propiedades bastante análoga a la de Riemann Zeta función, incluyendo una Hipótesis de Riemann. Es una función racional de una sola variable, y está construido con una(n exponencial de un) potencia de la serie, el $n$th coeficiente de ser el número de puntos en $X$ sobre el campo finito $\mathbb{F}_{q}$$q=p^n$. Si estás familiarizado con Curvas Elípticas, el Hasse-Weil desigualdad
$$ \left| \#E(\mathbb{F}_q) -(q+1) \right| \leq 2\sqrt{q} $$
para una curva elíptica $E/\mathbb{F}_q$, es el secreto de la Hipótesis de Riemann, en el disfraz.
