Encontrar el coeficiente del término en la expansión (multinomial/binomial)

Question

Estoy trabajando en una prueba de algo y en la prueba necesito encontrar el coeficiente de $s^{27}$ en $(\frac{1}{6}(s+s^{2}+s^{3}+s^{4}+s^{5}+s^{6}))^{10}$ . Wolfram Alpha da que la respuesta es:

Creo que esta es la respuesta correcta, sin embargo, en mi prueba no quiero decir por Wolfram Alpha, el coeficiente de $s^{27}$ en $(\frac{1}{6}(s+s^{2}+s^{3}+s^{4}+s^{5}+s^{6}))^{10}$ es $\frac{2665}{104976}$ . Creo que es mejor que resuelva el coeficiente de $s^{27}$ analíticamente o a mano. Sin embargo, no estaba seguro de cuál era el mejor método para hacerlo. Estaba pensando en el teorema del multinomio (no en el teorema del binomio, ya que hay 6 términos). Sin embargo, hay muchas formas de combinar potencias de $s, s^2, s^3, s^4, s^5, \mbox{ and } s^6$ para conseguir $s^{27}$ . Por lo tanto, no sé la mejor manera de encontrar el coeficiente de $s^{27}$ a mano o de forma analítica. Cualquier ayuda será muy apreciada, muchas gracias.

Answer 1

Pues lo más fácil es decir simplemente que la respuesta es $\frac{2665}{104976}$ . Pero si realmente quieres hacerlo a mano, esto funcionará:

\begin{align} [s^{27}](s + s^2 + s^3 + s^4 + s^5 + s^6)^{10} &= [s^{17}](1 + s + s^2 + s^3 + s^4 + s^5)^{10} \\ &= [s^{17}]\frac{(1-s^6)^{10}}{(1-s)^{10}} \\ &= [s^{17}]\frac{1 - 10s^6 + 45s^{12}}{(1-s)^{10}} \\ &= [s^{17}]\frac{1}{(1-s)^{10}} - 10[s^{11}]\frac{1}{(1-s)^{10}} + 45[s^5]\frac{1}{(1-s)^{10}} \\ &= \binom{17 + 9}{9} - 10\binom{11 + 9}{9} + 45 \binom{5 + 9}{9} \\ &= 1535040. \end{align}

Así que el coeficiente que se busca es $$ \frac{1535040}{6^{10}} = \frac{2665}{104976}. $$