Capas límite: aproximadamente satisfactorias BC

Question

Estoy trabajando en un problema de capa límite para una EDO lineal de segundo orden. Un problema más simple que creo que todavía ilustra el problema que estoy teniendo es

$$\varepsilon y''-y'+y=0,y(0)=0,y(1)=1$$

donde $\varepsilon > 0$ es un parámetro pequeño. Este problema (a diferencia de mi problema real) admite de hecho una solución exacta, a saber

$$\frac{e^{\lambda_2 x}-e^{\lambda_1 x}}{e^{\lambda_2}-e^{\lambda_1}}$$

donde

$$\lambda_1,\lambda_2=\frac{1 \pm \sqrt{1-4\varepsilon}}{2 \varepsilon}.$$

Para los pequeños $\varepsilon > 0$ , $\lambda_1$ es un número positivo grande, a saber $\frac{1}{\varepsilon}+O(1)$ mientras que $\lambda_2$ es un número positivo de orden $1$ a saber $1+O(\varepsilon)$ .

Al eliminar los signos menos, esto significa que la solución anterior crece muy rápido cerca de $1$ y es muy pequeño lejos de $1$ . En consecuencia, he desarrollado una solución de capa límite "interna" cerca de $x=1$ . Esto se hace de la forma habitual cambiando las variables a $z=\frac{x-1}{\varepsilon}$ suponiendo que $\frac{d^2 y}{dz^2},\frac{dy}{dz}$ y $y$ son todos $O(1)$ cerca de $x=1$ y equilibrando los términos de orden superior. De aquí obtengo una solución de orden principal de $e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}$ para $|x-1|=O(\varepsilon)$ .

Ahora mi problema surge en el resto del intervalo. Para la solución externa de orden principal, consideramos $y'=y$ y obtener $y=Ce^x$ . Mi problema consiste ahora esencialmente en identificar $C$ . Puedo tomarlo como $0$ para que coincida con la condición de contorno izquierda, pero esto no parece correcto, porque la solución compuesta de este procedimiento es $e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}$ en todo el intervalo, que no satisface la condición de contorno izquierda (al menos exactamente). Puedo restar $e^{-\frac{1}{\varepsilon}}$ para forzar que se cumpla la condición de contorno izquierda (lo que tiene un impacto insignificante en el error de la propia ED), pero entonces el derecha la condición de contorno no se cumple.

¿Debería planteármelo de otro modo? ¿Necesito ir a un orden superior para obtener un resultado razonable? Me parece que sí, porque una EDO lineal de primer orden "razonable" que comience con el valor cero siempre se quedará en cero. Así que para empezar en cero y no quedarme ahí necesito considerar un verdadero problema de segundo orden. Pero esto es más difícil en mi problema real, y parece que el método debería ser más o menos universal.

Answer 1

La expansión WKB es $$ y(x)=\exp\left(\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right), $$ donde $\delta=\epsilon^\alpha$ . La derivada de $y$ es $$ y'(x)=\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right]y(x), $$ y la segunda derivada es, $$ y''(x)=\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right)^2+\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''(x)\right]y(x). $$

Así, sustituyendo en la EDO y factorizando los exponenciales, se obtiene $$\left[\frac{\epsilon}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right)^2+\frac{\epsilon}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''(x)\right]-\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right]+1=0. $$ Ahora tienes que encontrar un límite distinguido para encontrar $\delta$ . Los dos términos mayores de la expansión son $S_0'(x)^2\epsilon/\delta^2$ y $S_0'(x)/\delta$ . Para equilibrarlos, elija $\delta=\epsilon$ . (Esto es lo mismo que la escala de la capa límite que se obtiene de la teoría normal de la capa límite).

Ahora, elige la ecuación eikonal de orden principal, en $O(\epsilon^{-1})$ : $$ \left(S_0'(x)\right)^2-S_0'(x)=0,$$ y la ecuación de transporte de primer orden, en $O(1)$ : $$ 2S_0'(x)S_1'(x)+S_0''(x)-S_1'(x)+1=0.$$

La primera ecuación da dos soluciones, $S_0(x)=x$ y $S_0(x)=0$ . La primera solución es una solución interna, y la segunda es una solución externa. No es necesario añadir constantes de integración. La solución de orden principal es $$y(x)=A\exp\left(\frac{x}{\epsilon}\right)+B, $$ y las condiciones de contorno dan $$ y(x)=\frac{1-\exp\left(\frac{x}{\epsilon}\right)}{1-\exp\left(\frac{1}{\epsilon}\right)}. $$

La solución de la ecuación de transporte es, para el $S_0(x)=0$ solución, $$ S_1(x)=x,$$ y para el $S_0(x)=x$ solución, $$ S_1(x)=-x.$$ Así se obtiene la solución a dos plazos, $$ y(x)=C\exp\left(x\right)+D\exp\left(\frac{x}{\epsilon}-x\right). $$ Las condiciones de contorno dan la solución final de dos términos como $$ y(x)=\frac{\exp\left(x\right)-\exp\left(\frac{x}{\epsilon}-x\right)}{\exp\left(1\right)-\exp\left(\frac{1}{\epsilon}-1\right)}. $$ Una cosa buena de la teoría WKB es que te da las soluciones internas y externas juntas, no necesitas hacer coincidencias asintóticas.

El libro de Bender y Orszag tiene una gran sección sobre la teoría WKB.

A continuación se muestra una imagen de las soluciones de uno y dos términos, junto con una solución numérica, para $\epsilon=0.2$ .