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Capas límite: aproximadamente satisfactorias BC

Estoy trabajando en un problema de capa límite para una EDO lineal de segundo orden. Un problema más simple que creo que todavía ilustra el problema que estoy teniendo es

$$\varepsilon y''-y'+y=0,y(0)=0,y(1)=1$$

donde $\varepsilon > 0$ es un parámetro pequeño. Este problema (a diferencia de mi problema real) admite de hecho una solución exacta, a saber

$$\frac{e^{\lambda_2 x}-e^{\lambda_1 x}}{e^{\lambda_2}-e^{\lambda_1}}$$

donde

$$\lambda_1,\lambda_2=\frac{1 \pm \sqrt{1-4\varepsilon}}{2 \varepsilon}.$$

Para los pequeños $\varepsilon > 0$ , $\lambda_1$ es un número positivo grande, a saber $\frac{1}{\varepsilon}+O(1)$ mientras que $\lambda_2$ es un número positivo de orden $1$ a saber $1+O(\varepsilon)$ .

Al eliminar los signos menos, esto significa que la solución anterior crece muy rápido cerca de $1$ y es muy pequeño lejos de $1$ . En consecuencia, he desarrollado una solución de capa límite "interna" cerca de $x=1$ . Esto se hace de la forma habitual cambiando las variables a $z=\frac{x-1}{\varepsilon}$ suponiendo que $\frac{d^2 y}{dz^2},\frac{dy}{dz}$ y $y$ son todos $O(1)$ cerca de $x=1$ y equilibrando los términos de orden superior. De aquí obtengo una solución de orden principal de $e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}$ para $|x-1|=O(\varepsilon)$ .

Ahora mi problema surge en el resto del intervalo. Para la solución externa de orden principal, consideramos $y'=y$ y obtener $y=Ce^x$ . Mi problema consiste ahora esencialmente en identificar $C$ . Puedo tomarlo como $0$ para que coincida con la condición de contorno izquierda, pero esto no parece correcto, porque la solución compuesta de este procedimiento es $e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}$ en todo el intervalo, que no satisface la condición de contorno izquierda (al menos exactamente). Puedo restar $e^{-\frac{1}{\varepsilon}}$ para forzar que se cumpla la condición de contorno izquierda (lo que tiene un impacto insignificante en el error de la propia ED), pero entonces el derecha la condición de contorno no se cumple.

¿Debería planteármelo de otro modo? ¿Necesito ir a un orden superior para obtener un resultado razonable? Me parece que sí, porque una EDO lineal de primer orden "razonable" que comience con el valor cero siempre se quedará en cero. Así que para empezar en cero y no quedarme ahí necesito considerar un verdadero problema de segundo orden. Pero esto es más difícil en mi problema real, y parece que el método debería ser más o menos universal.

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No puedo responder a su pregunta directamente, pero estoy casi seguro de que este problema se considera en detalle en el libro de Bender y Orszag

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¿Qué es la $\epsilon$ ?

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@JanEerland Un pequeño parámetro, no tiene valor definitivo en este contexto.

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David Puntos 1152

La expansión WKB es $$ y(x)=\exp\left(\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n(x)\right), $$ donde $\delta=\epsilon^\alpha$ . La derivada de $y$ es $$ y'(x)=\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right]y(x), $$ y la segunda derivada es, $$ y''(x)=\left[\frac{1}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right)^2+\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''(x)\right]y(x). $$

Así, sustituyendo en la EDO y factorizando los exponenciales, se obtiene $$\left[\frac{\epsilon}{\delta^2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right)^2+\frac{\epsilon}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n''(x)\right]-\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty}\delta^nS_n'(x)\right]+1=0. $$ Ahora tienes que encontrar un límite distinguido para encontrar $\delta$ . Los dos términos mayores de la expansión son $S_0'(x)^2\epsilon/\delta^2$ y $S_0'(x)/\delta$ . Para equilibrarlos, elija $\delta=\epsilon$ . (Esto es lo mismo que la escala de la capa límite que se obtiene de la teoría normal de la capa límite).

Ahora, elige la ecuación eikonal de orden principal, en $O(\epsilon^{-1})$ : $$ \left(S_0'(x)\right)^2-S_0'(x)=0,$$ y la ecuación de transporte de primer orden, en $O(1)$ : $$ 2S_0'(x)S_1'(x)+S_0''(x)-S_1'(x)+1=0.$$

La primera ecuación da dos soluciones, $S_0(x)=x$ y $S_0(x)=0$ . La primera solución es una solución interna, y la segunda es una solución externa. No es necesario añadir constantes de integración. La solución de orden principal es $$y(x)=A\exp\left(\frac{x}{\epsilon}\right)+B, $$ y las condiciones de contorno dan $$ y(x)=\frac{1-\exp\left(\frac{x}{\epsilon}\right)}{1-\exp\left(\frac{1}{\epsilon}\right)}. $$

La solución de la ecuación de transporte es, para el $S_0(x)=0$ solución, $$ S_1(x)=x,$$ y para el $S_0(x)=x$ solución, $$ S_1(x)=-x.$$ Así se obtiene la solución a dos plazos, $$ y(x)=C\exp\left(x\right)+D\exp\left(\frac{x}{\epsilon}-x\right). $$ Las condiciones de contorno dan la solución final de dos términos como $$ y(x)=\frac{\exp\left(x\right)-\exp\left(\frac{x}{\epsilon}-x\right)}{\exp\left(1\right)-\exp\left(\frac{1}{\epsilon}-1\right)}. $$ Una cosa buena de la teoría WKB es que te da las soluciones internas y externas juntas, no necesitas hacer coincidencias asintóticas.

El libro de Bender y Orszag tiene una gran sección sobre la teoría WKB.

A continuación se muestra una imagen de las soluciones de uno y dos términos, junto con una solución numérica, para $\epsilon=0.2$ . enter image description here

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Utilicé una forma algo diferente de la WKB ansatz, pero obtuve buenos resultados. Gracias por la sugerencia de utilizar WKB en primer lugar.

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Qué forma hiciste aún estoy aprendiendo estas cosas y me interesaría saberlo. Me alegro de haber podido ayudar algo.

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Tomé $y=fg$ lo sustituimos en la EDO y obtenemos una nueva EDO en la que no interviene $g'$ resolviendo una EDO de primer orden para $f$ . Entonces tomé $g(x)=e^{\theta(x)/\varepsilon} h(x)$ y lo enchufé todo. Esto funcionó sin problemas en mi problema real, que tenía un coeficiente no constante en la variable $y'$ (pero con un signo definido).

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