Estoy trabajando en un problema de capa límite para una EDO lineal de segundo orden. Un problema más simple que creo que todavía ilustra el problema que estoy teniendo es
$$\varepsilon y''-y'+y=0,y(0)=0,y(1)=1$$
donde $\varepsilon > 0$ es un parámetro pequeño. Este problema (a diferencia de mi problema real) admite de hecho una solución exacta, a saber
$$\frac{e^{\lambda_2 x}-e^{\lambda_1 x}}{e^{\lambda_2}-e^{\lambda_1}}$$
donde
$$\lambda_1,\lambda_2=\frac{1 \pm \sqrt{1-4\varepsilon}}{2 \varepsilon}.$$
Para los pequeños $\varepsilon > 0$ , $\lambda_1$ es un número positivo grande, a saber $\frac{1}{\varepsilon}+O(1)$ mientras que $\lambda_2$ es un número positivo de orden $1$ a saber $1+O(\varepsilon)$ .
Al eliminar los signos menos, esto significa que la solución anterior crece muy rápido cerca de $1$ y es muy pequeño lejos de $1$ . En consecuencia, he desarrollado una solución de capa límite "interna" cerca de $x=1$ . Esto se hace de la forma habitual cambiando las variables a $z=\frac{x-1}{\varepsilon}$ suponiendo que $\frac{d^2 y}{dz^2},\frac{dy}{dz}$ y $y$ son todos $O(1)$ cerca de $x=1$ y equilibrando los términos de orden superior. De aquí obtengo una solución de orden principal de $e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}$ para $|x-1|=O(\varepsilon)$ .
Ahora mi problema surge en el resto del intervalo. Para la solución externa de orden principal, consideramos $y'=y$ y obtener $y=Ce^x$ . Mi problema consiste ahora esencialmente en identificar $C$ . Puedo tomarlo como $0$ para que coincida con la condición de contorno izquierda, pero esto no parece correcto, porque la solución compuesta de este procedimiento es $e^{\frac{x-1}{\varepsilon}}$ en todo el intervalo, que no satisface la condición de contorno izquierda (al menos exactamente). Puedo restar $e^{-\frac{1}{\varepsilon}}$ para forzar que se cumpla la condición de contorno izquierda (lo que tiene un impacto insignificante en el error de la propia ED), pero entonces el derecha la condición de contorno no se cumple.
¿Debería planteármelo de otro modo? ¿Necesito ir a un orden superior para obtener un resultado razonable? Me parece que sí, porque una EDO lineal de primer orden "razonable" que comience con el valor cero siempre se quedará en cero. Así que para empezar en cero y no quedarme ahí necesito considerar un verdadero problema de segundo orden. Pero esto es más difícil en mi problema real, y parece que el método debería ser más o menos universal.
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No puedo responder a su pregunta directamente, pero estoy casi seguro de que este problema se considera en detalle en el libro de Bender y Orszag
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¿Qué es la $\epsilon$ ?
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@JanEerland Un pequeño parámetro, no tiene valor definitivo en este contexto.
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@Ian Tal vez puedas resolver la cuestión (la primera de tu pregunta) utilizando la transformada de Laplace
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@JanEerland Sé cómo obtener la solución exacta de la ecuación que escribí, es un problema estándar en EDOs elementales. De hecho lo hice en la propia pregunta. La cuestión es poder sustituir esa ecuación por $\varepsilon y''+a(x) y'+b(x)y=0$ donde $a,b$ son esencialmente funciones continuas arbitrarias, salvo que exigimos que $a$ tener un signo definido. Para esto no hay esperanza de construir una solución exacta y luego aproximar la solución exacta.
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@tired Manejan el caso general de $\varepsilon y''+a(x)y'+b(x)y=0$ donde $a,b$ son continuas y $a$ tiene un signo. El resultado que obtienen (para este problema más simple y mi problema real) coincide con lo que he escrito. Es sólo que lo que he escrito parece algo erróneo, debido a que las condiciones de contorno sólo se satisfacen asintóticamente.
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Su escala de capa límite le da $y''+y'=0$ en la capa límite el $y$ será despreciable en comparación con las derivadas primera y segunda.
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La verdadera solución a este problema es utilizar una expansión WKB, $y=\exp \left(\epsilon^{-\alpha} S_0(x)+S_1(x)+\epsilon^{\alpha}S_2(x)+\cdots\right)$ .
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@David Tienes razón en que esta configuración de capa límite en realidad da $Ce^{\frac{x-1}{\varepsilon}}+D$ . Pero cuando coincides asintóticamente con la función cero y las BC, obtienes lo que he dicho. Supongo que podrías usar WKB en su lugar, que esencialmente absorbería el decaimiento exponencial en el prefactor y dejaría una función razonable detrás. Pero ¿cómo puedo escribir $y=fg$ para obtener una EDO que no implique $g'$ cuando mi EDO real tiene coeficientes no constantes?
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La teoría WKB funciona bien con coeficientes no constantes, creo que no entiendo la pregunta. ¿Qué son $f$ y $g$ ?
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@David La forma en que aprendí la teoría WKB se centraba en EDOs de segundo orden sin término en primera derivada. Aprendí a eliminar el término de la primera derivada escribiendo $y=fg$ a continuación, establezca todos los términos que implican $g'$ igual a cero. Así se obtiene una EDO de primer orden para $f$ . En el problema de coeficiente constante anterior esto se resuelve fácilmente: se desea $\varepsilon (f''g+2f'g'+fg'')-(f'g+g'f)+fg=0$ y $2 \varepsilon f'g'-g'f=0$ por lo que podemos elegir $f=e^{\frac{x}{2 \varepsilon}}$ . Esto da una EDO para $g$ que no implica $g'$ que permite el procedimiento que aprendí.
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@David (Cont.) Pero las manipulaciones son más difíciles cuando el coeficiente de la primera derivada no es constante. En ese caso $f$ tiene que resolverse mediante un factor integrador y luego diferenciarse dos veces para obtener la EDO de $g$ por lo que tengo motivos para creer que el resultado sería algo complicado. Existe una vía más directa para el contexto de ecuaciones de segundo orden con un término en primera derivada?
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No tengo mucha experiencia con la teoría WKB, pero es obvio que usted sabe lo que hace, así que puede que haya entendido mal la cuestión. Voy a escribir una breve respuesta y usted puede ver si es útil. No podré hacerlo hasta dentro de un par de horas.
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@David Veo que puedes forzar WKB para que funcione aunque el resultado puede ser diferente si no empiezas quitando el botón $y'$ plazo.