Inyección de $\mathbb N \times \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$

Question

Tengo que dar un ejemplo de una inyección de $\mathbb N \times \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$.

Sería algo parecido a $f(x)=x^3$ ser una respuesta a esta pregunta?

Answer 1

Sugerencia: podría ser útil pensar en el hecho de que el primer factorizations son únicos, de manera que cualquier función que los rendimientos de los distintos primer factorizations para cada entrada, sin duda será una inyección.

Answer 2

Deje $a_n(k)$ ser $n$-ésimo dígito de $k$ contado desde el menos significativo y a partir de $0$, es decir, $$a_n(k) = \lfloor 10^{-n} \cdot k \rfloor \text{ mod } 10$$ Entonces $$f(n_1, n_2, n_3) := \sum_{j=0}^{\infty} a_j(n_1) \cdot 10^{3j} + a_j(n_2) \cdot 10^{3j+1} + a_j(n_3) \cdot 10^{3j+3}$$ hace el truco. Esto puede ser considerado como la "mezcla" de los dígitos:

$$f(12,34,56) = 531642$$

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La "ventaja" sobre el primer factorización es que $f$ es también surjective con inversa. $$f^{-1}(n) = \left(\sum_{j=0}^\infty a_{3j}(n) 10^j, \sum_{j=0}^\infty a_{3j+1} 10^j, \sum_{j=0}^\infty a_{3j+2}(n) 10^j\right)$$

Answer 3

Sugerencia: Utilice el hecho de que el primer factorisations son únicos.

Answer 4

Yo prefiero (suponiendo que $0\notin\mathbb N$) $$ (x,y,z)\mapsto \left((2x-1)2^{y}-1\right)2^{z-1}$$ (por qué?)

Answer 5

Dado un bijection $\varphi : \Bbb N \times \Bbb N \to \Bbb N$, basta con utilizar el bijection

$$(x,y,z) \to \varphi(\varphi(x,y),z)$$

Para $\varphi$, se puede utilizar por ejemplo:

$$\varphi_1(x,y)=(2x+1)2^y-1$$

O

$$\varphi_2(x,y)=\frac 1 2 (x+y)(x+y+1)+y$$

Para dar una idea de $\varphi_2$, aquí es una matriz con entradas de $a_{ij}=\varphi_2(i,j)$ (índices de partida en $0$):

$$\pmatrix{ 0&2&5&9&14&20\cr 1&4&8&13&19&26\cr 3&7&12&18&25&33\cr 6&11 &17&24&32&41\cr 10&16&23&31&40&50\cr 15&22&30&39&49&60\cr }$$

Y con $\varphi_1$:

$$\pmatrix{0&1&3&7&15&31\cr 2&5&11&23&47&95\cr 4&9&19&39&79&159\cr 6& 13&27&55&111&223\cr 8&17&35&71&143&287\cr 10&21&43&87&175&351\cr }$$