Necesidad de solución a Volerra integro-diff ecuación

Question

Tengo que resolver un sistema de Volterra integro-diff ecuación de la forma

$$ y(t) = x(t) - \int_{0}^{t} k(t-\tau) y'(\tau) \;\mathrm{d}\tau $$

donde el núcleo es de la forma $$ k(t-\tau) = P(t)Q(\tau) $$

Es posible encontrar la solución sin transformadas de Laplace? Gracias.

Answer 1

Podemos sustituir el núcleo de la definición de rendimiento

$$ y(t) = x(t) - \int_0^{t} P(t)Q(\tau)y'(\tau) d\tau $$

Nota la independencia de $t$ e $\tau$ nos permite escribir:

$$ y(t) = x(t) - P(t)\int_0^{t} Q(\tau)y'(\tau) d\tau $$

Podemos entonces diferenciar a encontrar:

$$ y'(t) = x'(t) - P'(t)\left( \int_0^{t} Q(\tau)y'(\tau) d\tau\right) - P(t)Q(t)y'(t) $$

Tenga en cuenta que

$$ y(t) = x'(t) - P(t)\int_0^{t} Q(\tau)y'(\tau) d\tau $$ Nos informa que

$$ \frac{y(t)-x'(t)}{P(t)} = -\int_0^{t} Q(\tau)y'(\tau) d\tau$$

Por lo tanto se deduce que

$$ y'(t) = x'(t) - P'(t)\frac{y(t)-x'(t)}{P(t)} - P(t)Q(t)y'(t) $$

Que puede reordenarse

$$ \left(1 + P(t)Q(t) \right)y'(t) + \frac{P'(t)}{P(t)}y(t)+\left(\frac{P'(t)}{P(t)}-1 \right)x'(t) = 0 $$

Que es un estándar de Primer Orden Lineal de la educación a distancia en términos de y. La solución a la que se da a través de la técnica de la integración de factores. (Mensaje en los comentarios si quieres que te muestran la forma cerrada así. Por ahora voy a omitir)

O si usted realmente desea la ecuación completa. Dividimos a través de por $\left(1 + P(t)Q(t) \right)$ a rendimiento

$$ y'(t) + \frac{\frac{P'(t)}{P(t)}}{\left(1 + P(t)Q(t) \right)}y(t) = \frac{\left(1-\frac{P'(t)}{P(t)} \right)}{\left(1 + P(t)Q(t) \right)} x'(t) $$

De aquí se deduce como por las técnicas que se describen en:

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation#First-order_equation_with_variable_coefficients

Que la solución general es

$$ y = \frac{\int_{t_0}^{t} \frac{\left(1-\frac{P'(t)}{P(t)} \right)}{\left(1 + P(t)Q(t) \right)} x'(t) e^{\int \frac{\frac{P'(t)}{P(t)}}{\left(1 + P(t)Q(t) \right)}} }{e^{\int \frac{\frac{P'(t)}{P(t)}}{\left(1 + P(t)Q(t) \right)}}}$$

Tiempo para golpear con algunos graves algebraicas simplificación. Las integrales sin límites especificados se puede ajustar a cualquier límite inferior (los resultados para cancelar). El $t_0$ límite inferior es explícito, donde es necesario ser especificado.

Answer 2

La solución también se puede obtener (con mucho trabajo) integrando por partes, distinguiendo y, a continuación, la integración por partes de nuevo, reconociendo que y(0) = x(0) = 0 (al menos en mi caso).