Teorema inverso de la curva de Jordan

Question

Sea $K$ sea un subconjunto compacto de $\mathbb R^2$ tal que $\mathbb R^2\setminus K$ no está conectado. ¿Es cierto que $K$ contiene una curva cerrada simple?

Answer 1

No. Un contraejemplo es el cierre de la curva seno de topólogo $y=\sin (1/x)$ , $0<x<1$ más una curva que conecta su extremo "bueno" con el segmento de línea del otro extremo. El complemento es abierto y claramente no está conectado por una trayectoria, por lo tanto no está conectado.

Answer 2

Sin embargo, es cierto que si $K$ es un subconjunto compacto del plano, conexo y localmente conexo, y no vacío, entonces $\mathbf R^2\setminus K$ es conexo si y sólo si $K$ es simplemente conexo, si y sólo si $K$ es contractible a un punto, si y sólo si $K$ es una deformación retraída de $\mathbf R^2$ . La principal dificultad es el teorema de Caratheodory que demuestra que existe un mapa continuo desde el disco unitario cerrado a $\mathbf S_2\setminus \mathring K$ que induce un homeomorfismo desde el disco unitario abierto a $\mathbf S_2\setminus K$ .