Estoy tratando de dar una prueba no algebraica para esta igualdad:
$$\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dbinom{a}{a-c}\dbinom{a-c}{a-b}$$
Hasta ahora, sólo he podido utilizar la identidad $\dbinom{x}{y}=\dbinom{x}{x-y}$ .
Lo que tengo es $\dbinom{a}{a-c}\dbinom{a-c}{a-b}=\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}$ . Pero no creo que haya progresado desde ahí. Parece razonable si pensamos en la identidad, pero me resulta difícil dar una prueba adecuada para ello.
Gracias por la ayuda.
HINT
Esta es la base de una prueba combinatoria.
Intenta imaginar que hay $a$ personas. De ellos, $b$ la gente se unirá al grupo $A$ , y elegiremos $c$ personas como el comité de grupo $A$ . No es demasiado difícil demostrar que se trata del lado izquierdo.
Para el lado derecho, intente elegir primero el comité y luego el resto de los miembros del grupo.
El número de formas de elegirlas debe ser igual en ambas ocasiones.
Gracias. Pero, ¿has confundido el lado derecho y el izquierdo? Si elegimos a b personas para unirse al grupo A y luego elegimos a c personas como comité, ¿se supone que eso es el lado izquierdo?
@user71346 Sí. Extrañamente me confundo la derecha y la izquierda siempre que escribo aquí. ¿Está bien ahora? (¿has conseguido la prueba)? Me gustaría sacar esto de la pestaña de sin respuesta.
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